Lokaler Tiefpunkt
Analysis
Basiswissen
Definition: ein lokaler Tiefpunkt, auch relativer Tiefpunkt genannt, ist der tiefste Punkt in seiner Umgebung. Seine unmittelbaren Nachbarn sind alle höher als der Tiefpunkt.
Wie ist lokaler Tiefpunkt exakt definiert?
- Mit Hilfe der epsilon-Umgebung:
- Ein Tiefpunkt ist ein Punkt, in dessen epsilon-Umgebung keine höheren Punkte liegen.
- Das heißt, wenn man eine beliebig kleine Umgebung links und rechts ...
- von dem Tiefpunkt finden kann, in der alle anderen Werte höher sind, ...
- dann war der untersuchte Punkt auch ein Tiefpunkt.
- Mehr dazu unter epsilon-Umgebung ↗
Welche Eigenschaften hat ein lokaler Tiefpunkt?
- Bei einer Parabel heißt der lokale Tiefpunkt Scheitelpunkt.
- Allgemein (nicht nur für Parabeln) gilt:
- Die Steigung ist immer Null.
- Die Tangente verläuft dort waagrecht.
- Die erste Ableitung ist dort Null.
- Die zweite Ableitung ist dort positiv.
Hat jeder Graph einen lokalen Tiefpunkt?
- Nein, Geraden zum Beispiel haben nie einen Tiefpunkt.
- Auch f(x)=x³ oder die Tangensfunktion haben keinen Tiefpunkt.
Gibt es Funktionen mit mehreren lokalen Tiefpunkten?
- Ja, zum Beispiel hat die Sinusfunktion unendlich viele Tiefpunkte.
- Auch ganzrationale Funktionen ab dem Grad 4 können mehrere TP haben.
Begriffe
- Der y-Wert von einem lokalen Tiefpunkt heißt lokales Minimum ↗
- Der x-Wert von einem lokalen Tiefpunkt heißt lokale Tiefstelle ↗
