Dritte Ableitung gleich Null
Möglichkeiten
Basiswissen
f'''(x) = 0, also die dritte Ableitung von f(x) ist an einer Stelle null. Das eröffnet mehrere mögliche Interpretationen für den Graphen.
Eine wichtiger Unterschied: Wert oder Funktion?
Das Wort Ableitung wird in zwei ähnlichen aber leicht unterschiedlichen Bedeutungen verwendet. Für f(x)=x² ist f'(x)=2x die sogenannte Ableitungsfunktion. Und f'(4)=8 ist der sogenannte Ableitungswert, auch Steigung genannt, an der Stelle x=4. Beides, die Ableitungsfunktion wie auch den Ableitungswert an einer Stelle nennt man kurz oft Ableitung. In diesem Artikel steht Ableitung für den Ableitungswert ↗
f'''(x)=0 für alle Punkte
Zum Beispiel für f(x)=2x² wird die dritte Ableitung zu f'''(x)=0: erhält man als dritte Ableitung f'''(x)=0, so sagt man, die dritte Ableitung verschwindet. Das heißt dann, dass die dritte Ableitung für alle x-Werte immer Null ergibt. Das trifft immer auf alle konstanten, linearen und quadratischen Funktionen zu. Man kann also im Umkehrschluss argumentieren: wenn die dritte Ableitung verschwindet, dann kann die Ausgangsfunktion f(x) konstant, linear oder quadratisch gewesen sein.
f'(x₀)=0 als möglicher Wendepunkt
Ist die dritte Ableitung an einer bestimmten Stelle, also nur für einen bestimmten x-Wert eingesetzt Null, dann kann man daraus alleine noch keine sicheren Schlüsse über den Funktionsgraphen ziehen. Es ist möglich, aber nicht zwingend, dass dort ein Wendepunkt existiert. So hat der Graph von f(x)=x⁵ bei x=0 als dritte Ableitung f'''(0) = 60·0³, also den Wert 0. Dass die dritte Ableitung an einem Wendepunkt zu null wird ist aber weder eine notwendige noch eine hinreichende Bedingung. Wenn die dritte Ableitung 0 wird, ist die Lage im Bezug auf einen Wendepunkt lediglich nur weiter unklar. Mehr dazu unter dritte Ableitung und Wendepunkt ↗