Dritte Ableitung und Wendepunkt
Analysis
Basiswissen
Dritte Ableitung = 0 meint: Lage ist weiter unklar. Ansonsten kann man klar sagen, ob es ein links-rechts oder ein rechts-links Wendepunkt ist. Das ist hier mit einem Beispiel ausführlich vorgestellt.
Kontext
- Hier geht es um die Bestimmung von Wendepunkten über Ableitungen.
- x-Werte, die die 2. Ableitung zu 0 machen sind mögliche Wendestellen.
- Man setzt diese x-Werte dann in die 3. Ableitung ein:
- f'''(x) kleiner als 0 LR-WP ↗
- f'''(x) größer als 0 RL-WP ↗
- f'''(x) gleich 0: unklar
Beispiel
- Man hat die Funktion: f(x)=x^5
- Der Graph sieht ähnlich aus wie f(x)=x^3 ↗
- Man sieht am Graphen: bei (0|0) ist ein WP.
- Links von (0|0) ist f(x) rechtgekrümmt.
- Rechts von (0|0) ist f(x) linksgekrümmt.
- Jetzt betrachten wir uns die Ableitungen:
- f'(x) = 5x^4
- f''(x) = 20x³
- f'''(x) = 60x²
- f''(x) = 0 gibt als mögliche Wendestellen: x=0
- f'''(0) gibt aber auch 0. Also ist die Lage weiter unklar.
- Der Graph sagt eindeutig, dass es dort einen WP gibt.
- Um das rechnerisch zu erkennen, betrachtet man einen Vorzeichenwechsel.
- Wie das geht, steht unter Wendepunkte bestimmen ↗