Schnittpunkte von Geraden mit x-Achse 3D
Vektorrechnung
Basiswissen
Gegeben: Eine Gerade g in Parameterform in einem 3D-Koordinatensystem. Gesucht: Der Schnittpunkt von g mit der x-Achse. Das ist hier kurz erklärt.
Lösungsidee
- Im Schnittpunkt müssen die y- und die z-Koordinaten jeweils 0 sein.
- Man setzt also im Ortsvektor x die Komponenten x und y gleich 0.
- Die x-Koordinate selbst ist dann gesucht, man setzt sie als Unbekannte x ein.
Genau eine Lösung
- Gibt es einen Schnittpunkt, so erhält man für die Unbekannte x und den Parameter r Zahlenwerte.
- Diese Zahlenwerte müssen alle drei Gleichungen des Systems erfüllen.
- Der Schnittpunkt liegt dann bei (x|0|0)
Keine Lösung
- Gibt es für x und r keine Werte, die alle drei Gleichungen erfüllen, ...
- dann hat die Gerade g keinen Schnittpunkt mit der x-Achse.
Beispiel mit Schnittpunkt
- g: (2|3|4)+r(6|-3|-4)
- Man setzt den Term für die Gerade gleich (x|0|0).
- Es entsteht daraus ein lineares Gleichungssystem:
- x = 2 + 6r
- 0 = 3 - 3r
- 0 = 4 - 4r
- Über die zwei unteren Gleichungen erhält man: r = 1
- Das in die obere einsetzen gibt: x=8
- Also ist (8|0|0) der Schnittpunkt von g mit der x-Achse.
Beispiel ohne Schnittpunkt
- g: (2|3|8)+r(6|-3|-4)
- Man setzt den Term für die Gerade gleich (x|0|0).
- Es entsteht daraus ein lineares Gleichungssystem:
- x = 2 + 6r
- 0 = 3 - 3r
- 0 = 8 - 4r
- Über die mittlere Gleichung erhält man r = 1.
- Über die unterste Gleichung erhält man r = 2.
- r darf aber nur einen Wert annehmen nicht zwei.
- Schluss: diese Gerade hat keinen Schnittpunkt mit der x-Achse.