WH54 Fachwortlexikon
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Bildbeschreibung und Urheberrecht

Rutherfordsches Glasparadoxon


Gedankenexperiment


Basiswissen


Wäre Glas im Rutherfordschen Atommodell durchsichtig? Diese Frage wird hier quantitativ (rechnerisch) betrachtet. Die Ergebnisse decken sich in etwa mit realistischen Literaturangaben.

Fragestellung


Im Rutherfordschen Atommodell besteht Materie aus kleinsten Atomkernen, die in großen Abständen zueinander angeordnet sind. Zwischen den Atomkernen ist leerer Raum. Für dieses Modell wird beispielhaft die Wahrscheinlichkeit berechnet, mit dem ein klassisch gedachtes Lichtteilchen einen Glaszylinder der Länge nach ungestört durchfliegen würde. Die Ergebnisse sind erstaunlich realistisch, das Modell kann aber dennoch nicht stimmen.

Das Lichtteilchen


Das Licht wird hier als unendlich klein gedachtes Kügelchen modelliert. Das Lichtkügelchen fliegt auf einer geraden Bahn. Trifft es auf einen Atomkern, gilt sein Flug als gestört. Solange es nicht auf einen Atomkern trifft, gilt sein Flug als ungestört.

Der Glaszylinder


Für das Rechenmodell wird ein Glaszylinder mit einem Radius von einem tausendstel Millimeter (0,0001 cm) angenommen. Je kleiner der Glaszylinder gedacht wird, desto geringer fallen im späteren Rechengang die notwendigen Exponenten aus, was für viele Computerprogramme die Berechnung überhaupt erst möglich macht. Es wird angenommen, dass das Lichtteilchen unter einem Winkel von 90° Grad, also senkrecht, auf die kreisförmige Deckfläche des Zylinders auftrifft. Es soll so lange auf einer gerade Bahn weiterfliegen, wie es nicht auf einen Atomkern trifft. Die Höhe des Zylinders sei H, sein Radius R.

Glas als Materie


Glas zeigt als amorphes Material keine regelmäßige Kristallstruktur der Atome. Die Atome werden oft in kettenartigen Strukturen dargestellt. Im Modell soll der Ort eines einzelnen Atoms m Glaszylinder als völlig zufällig angenommen werden. Das Glas wird ferner idealisiert als gäbe es außer Silizium (Si) und Sauerstoff (0) keine weiteren Atomarten. Der Atomkerndurchmesser von Silizium liegt bei etwa 0,7·10^(-14) Meter und der von Sauerstoff bei etwa 0,6·10^(-14) Meter. Zur weiteren Berechnung wird vereinfachend angenommen, als bestünde Glas nur aus den kleineren Sauerstoffatomen. Der damit gemachte Fehler geht in Richtung einer zu hohen Durchgangswahrscheinlichkeit für das Lichtteilchen. Für die Berechnung wichtig ist weiter die Anzahl von Atomen in dem betrachteten Glaszylinder. Diese kann über die molare Masse von Siliziumdioxid bestimmt werden. In Glas kommen auf jedes Silizium-Atom zwei Sauerstoffatome. Eine solche Verbindung von Si02 hat eine molare Masse von rund 60 Gramm pro Mol. Der Kehrwert davon gibt an, wie viele Mol (Anzahl SiO2-Teilchen) pro Gramm vorhanden sind. Das Dreifache dieser Anzahl gibt die tatsächliche Anzahl von Atomen pro Mol insgesamt. Ferner muss die Diche von Glas berücksichtigt werden: Wie viele Gramm Masse kommen auf einen Kubikzentimeter? Die Dichte rho von Glas schwankt zwischen 3 g/cm³ bis zu gut 6 g/cm³. Es wird hier vereinfachend eine Dichte von 3 g/cm³ angenommen.

Rechenannahmen


◦ Teilchen pro Mol: 6·10^23
◦ Dichte rho des Glases = 2 g/cm³
◦ Molare Masse von SiO2 = 60 g/mol
◦ Mittlere Molare Masse M eines Atoms im Glas: 20 g/mol
◦ Durchmesser R des Glaszylinders = 10^(-6) Meter
◦ Atomkernradius r Sauerstoff = 0,35·10^(-14) Meter
◦ Atomkernradius r Silizium = 0,35·10^(-14) Meter

Die Kollisionswahrscheinlichkeit p


Nimmt man an, dass die Atome völlig zufällig im Glaszylinder angeordnet sind, dann entspricht die Wahrscheinlichkeit einer Kollision des Lichtteilchen mit einem bestimmen einzelnen Atomkern dem Anteil der Querschnittsfläche des Atomerkerns an der Querschnittsfläche des Glaszylinders. Theoretisch müsste man am Rand des Zylinders gedanklich abgeschnittene Atomkerne betrachten, die sich nur mit einem Teil ihres Querschnittes im Glaszylinder befinden. Der Anteil solcher Randtome an der Gesamtanzahl der Atome in einem realen Glas ist aber verschwindend gering, sodass diese Sonderbetrachtung hier vernachlässigt wird. Eine Atomerkernquerschnittsfläche berechnet sich dann zu pi·r², der Querschnitt des Glaszylinders ist pi·R². Das Verhältnis ergibt nach dem Kürzen von pi den Term r²/R² beziehungsweise (r/R)². Dieser Term steht für die Wahrscheinlichkeit p, dass ein Lichtteilchen beim Durchfliegen des Glaszylinders auf einen bestimmtem einzelnen Atomkern trifft.

Die Durchflugwahrscheinlichkeit q


Die Wahrscheinlichkeit q, dass ein Lichtteilchen NICHT mit einem bestimmten einzelnen Atomkern kollidiert ist das Gegenereignis von p. Es gilt also q=1-p. Mit dem Term für die Kollisionswahrscheinlichkeit p von oben ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit eines ungestörten Durchfluges bei nur einem einzelnen Atom im Glaszylinder: q = 1-(r/R)².

Durchflugwahrscheinlichkeit Q


Betrachtet man jetzt nicht nur ein Atom im Glaszylinder, sondern eine Anzahl von n Atomen, dann ergibt sich die Wahrscheinlichkeit Q für einen ungestörten Durchflug bei n Atomen im Glaszylinder über: Q=q^n. Man kann sich den Durchflug mit mehreren Atomen als n-stufiges Zufallsexperiment vorstellen. Jede Stufe entspricht dabei einem Atom, für das es eine Wahrscheinlichkeit p der Kollision und eine Wahrscheinlichkeit q der nicht-Kollision gibt. Es entsteht ein dichotomes Baumdiagramm, also eines, bei dem sich die Äste immer wieder halbieren. Für einen ungestörten Durchflug muss man sich stehts entlang der Äste für den ungestörten Flug bewegen. Nach der Pfadregel entsteht damit eine Malkette mit dem Faktor q und der Länge q als Ausgangswahrscheinlichkeit Q für einen vollständig ungestörten Durchflug bei n Atomen: Q = q^n

Die Glasdicke


Die Anzahl n der Atome in dem Glaszylinder hängt proportional ab von der Höhe H des Glaszylinders. In den Zusammenhang von Glasdicke H und Teilchenzahl n fließen ein, die molare Massen, die Dichte von Glas rho, die Avogadro-Konstante N und der Radius des Zylinders R:

◦ Q=f(H): Q = [1-(r/R)²]^[pi·R²·H·rho·N:M]

Mit


◦ pi·R²·H = Glaszylindervolumen
◦ pi·R²·H·rho·N:M = Anzahl n der Teilchen im Glaszylinder
◦ (1-r/R)² = Durchflugwahrscheinlichkeit bei n=1

Legende


◦ Q=f(H) = Durchchflugwahrscheinlichkeit als Funktion der Zylinderhöhe H
◦ Q = Durchflugwahrscheinlichkeit bei n Atomen im Glaszylinder
◦ q = Durchflugwahrscheinlichkeit bei nur einem Atom im Glaszylinder
◦ n = Anzahl der Atome im Glaszylinder mit Radius R und Höhe H
◦ R = Radius des Glaszylinders
◦ V = Volumen des Glaszylinders
◦ M = Molare Masse eines "Glasatoms".
◦ N = Avogadro-Konstante, etwa 6·10^23

Näherungsrechnung


Der Funktionsterm für Q ist aufgrund der hohen Exponenten für gegenwärtige Rechenprogramme nicht berechnbar. Eine grobe Abschätzung ist aber trotzdem möglich. Die ursprüngliche Frage war: wie groß ist die Wahrscheinlichkeit Q, dass ein Lichtteilchen ungestört durch einen Glaszylinder der Höhe H durchfliegen kann? Die Höhe H steht für die Glasdicke. Um zunächst mit kleineren Exponenten zu rechnen kann, man wie folgt vorgehen: Man setzt in die Formel Q=[1-(r/R)²]^n solange Werte für n ein, wie es das verwendete Rechenprogramm erlaubt. Die entsprechenden Ergebnisse für n kann man dann umrechnen auf eine bestimmte Zylinderhöhe H. Bei der konkreten Berechnung wird das Rechengesetz von "Potenzen von Potenzen" benutzt: (2^n)^m = 2^(n·m). Indem man das Gesetz rückwärts anwendet kann man Terme mit einzelnen hohen Potenzen in handhabbare Zwischenterme aufspalten. Man kommt zu folgenden Durchflugwahrscheinlichkeiten:

◦ q^(10^15) -> (((((1-(0.35*10^(-8))^2)^1000)^1000)^1000)^1000)^1000 -> Q ≈ 0,97
◦ q^(10^16) -> ((((((1-(0.35*10^(-8))^2)^1000)^1000)^1000)^1000)^1000)^10 -> Q ≈ 0,88
◦ q^(10^17) -> ((((((1-(0.35*10^(-8))^2)^1000)^1000)^1000)^1000)^1000)^100 -> Q ≈ 0,29
◦ q^(10^18) -> ((((((1-(0.35*10^(-8))^2)^1000)^1000)^1000)^1000)^1000)^1000 -> Q ≈ 0,000005

Kritische Glasdicke


Nach der modellhaften Annahme von kugelförmigen Atomkernen im Rutherfordschen Sinn und geradlinig fliegenden Lichtteilchen ergibt sich bei einer Anzahl von etwa 10 hoch 18 Atomen im Glaszylinder mit einem Radius von 0,001 Millimetern eine Wahrscheinlichkeit von nahezu 0, dass ein Lichtteilchen ungestört das Glas passiert. Die Störung müsste sich auf eine von zwei Weisen oder als Kombination davon auswirken: das Licht wird von der Materie absorbiert, das Glas wäre dann völlig lichtundurchlässig. Oder aber die Lichtteilchen werden gestreut, das Glas müsste milchig erscheinen. Die Frage ist nun, welcher Glasdicke die Teilchenzahl n von 10 hoch 18 entspricht. Das kann über den Zusammenhang n = pi·R²·H·rho·N·M berechnet werden. Umstellen nach H ergibt:

◦ Glasdicke H = n:(pi·R²·rho·N:M)
◦ Umformen: H = n·M:(pi·R²·rho·N)
◦ Einsetzen = 10^18·20·g·mol⁻¹·3,14⁻¹·10^8·cm^(-2)·3⁻¹·g⁻¹·cm³·6⁻¹·10^(-23)·mol
◦ Ergibt: H = (10^18)·(20:3.14·10^8:3:6·10^(-23))
◦ Ergibt: H ≈ 354 cm

Ergebnisse


Auf diese Weise kann nun die Glasdicke für verschiedene Werte von n berechnet und mit der Wahrscheinlichkeit für einen ungestörten Lichtdurchgang Q verbunden werden. Die folgende Tabelle zeigt das Ergebnis:

◦ q^(10^15): Glasdicke 0,35 cm: 97 % des Lichtes passiert ungestört
◦ q^(10^16): Glasdicke 3,54 cm: 88 % des Lichtes passiert ungestört
◦ q^(10^17): Glasdicke 35,4 cm: 29 % des Lichtes passiert ungestört
◦ q^(10^18): Glasdicke 354 cm: fast kein Licht passiert ungestört

Plausibilität


Die Glasscheiben des Space-Shuttle-Raumtransporters zählen mit einer Dicke von 1,3 Zoll (etwa 3,3 cm) zu den dicksten durchsichtigen Gläsern, die für praktische Zwecke hergestellt wurden. Die hier berechnete Lichtdurchlässigkeit von etwa 88 % erscheint sehr realistisch. Die Technologie-Firma Shimadzu (Kyoto, Japan) gibt an, dass Transmissivitäts-Experimente mit klarem Glas einer Dicke von 0,5 cm einen Durchgang von etwa 80 bis 90 % von sichtbarem Licht ergaben. Auch das liegt in der Größenordnung der Ergebnisse oben.

Fazit


Das Ergebnis mag auf den ersten Blick realistisch erscheinen: 3 mm dickes Glas ist völlig klar und durchsichtig, dreieinhalb Meter Glas blocken oder streuen Licht fast vollständig. Verschiedene Befunde sprechen aber gegen dieses Ergebnis und erzeugen das eigentliche Paradoxon des Lichtdurchganges durch Glas. Erstens: als Eigenschaften des Glases flossen ausschließlich die Atomdurchmesser und die Anzahl der Atome pro Kubikzentimeter ein. Es gibt nun viele Stoffe mit sehr änlichen Werten, wie etwa Kunststoffe, Holz oder Leichtmetalle. Sie würden über die obigen modellhaften Annahmen bei Dicken bis einige Zentimeter als weitehend lichtdurchlässig erscheinen, was sie aber nicht sind. Dies ist der offensichtlichste Einwand. Weniger bekannt ist der Effekt, dass in bestimmten Bereichen die Lichtdurchlässigkeit von Glas mit zunehmender Dicke steigt. Der Physiker Richard Feynman hat dies in seinem Buch "QED: die seltsame Theorie des Lichts und der Materie" als Ausgangspunkt für seine Hinführung zur Idee der Quantenpfade benutzt. Es kann festgehalten werden, dass der Durchgang von Licht durch Materie trotz einer scheinbaren Plausibilität nicht durch ein einfaches Teilchenmodell im rutherfordschen Sinn modelliert werden kann.

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