Monty-Hall-Problem
Stochastik
Basiswissen
Das Monty-Hall-Problem, auch Drei-Türen-Problem oder Ziegenproblem genannt, ist ein Lehrbuchbeispiel dafür, wie der gesunde Menschenverstand (die Intuition) gerade bei der Abschätzung von Wahrscheinlichkeiten falsch liegen kann. Das ist hier kurz vorgestellt.
Der Spielablauf mit den drei Türen
In einem Ratespiel sieht ein Kandidat auf drei für ihn verschlossene Türen. Hinter nur genau einer dieser Türen steht ein Hauptgewinn. Hinter den beiden anderen Türen je ein Trostpreis (oft als Ziegen bezeichnet, daher der Name Ziegenproblem). Der Kanditat darf zuerst raten, wo der Hauptgewinn steht. In jedem Fall wird der Showmaster ihm darauf eine der beiden Türen mit einem Trostpreis öffnen und zeigen, dass dort der Hauptgewinn nicht steht. Dann wird der Kandidat gefragt, ob er seine Wahl noc h einmal abändern möchte oder nicht. Die Frage ist: hat der Kandidat bessere, schlechtere oder dieselben Gewinnchancen, wenn er seine Wahl noch einmal ändert? Die meisten Menschen sagen hier, dass die Wahrscheinlichkeit für den Hauptgewinn zwischen den verbleibenden Türen je 50 % ist. Damit wäre es egal, ob man wechselt oder nicht. Eine Neuentscheidung hätte also keinen statistisch nachweisbaren Effekt auf die Gewinnchance. Diese Einschätzung ist jedoch falsch.
Die Strategie I: man bleibt bei der ersten Wahl
Stellen wir uns vor, ein Kanditat spielt das Spiel sehr oft. Er entscheidet sich dazu, niemals seine erst Wahl abzuändern. Er bleibt immer beharrlich bei seiner ersten Einschätzung. Es leuchtet ein, dass er damit eine Gewinncance von 1/3 hat. Wenn er sehr oft spielt, wird er mit dieser Strategie ein Drittel der Spiele gewinnen.
Die Strategie II: man wechselt immer noch einmal die Wahl
Nun entscheidet sich der Kanditat zu einem Strategiewechsel. Er wird immer wechseln, nachdem der Showmaster ihm die offene Tür gezeigt hat. Nach seiner ersten Wahl liegt er in zwei Drittel der Fälle falsch, hat sich also für die Tür mit dem Trostpreis entschieden. Wenn er falsch liegt - und in zwei Drittel der Fälle wird er falsch liegen - dann wird er bei einem Wechsel nach dem Öffnen der anderen Tür durch den Showmaster immer mit 100 %-iger Wahrscheinlichkeit den Hauptgewinn treffen. Das heißt: in zwei Drittel aller Situationen, wird er mit der Wechselstrategie den Hauptgewinn finden. Man erinnere sich, dass mit der Nicht-Wechsel-Strategie die Gewinnchance nur 1/3 betrug.
Fazit für das Monty-Hall-Problem
Entgegen der ersten Intuition führt die Strategie "immer wechseln" in etwa zwei Dritteln einer großen Anzahl von Spielen zum Erfolg. Die Strategie "nie wechseln" führt aber nur in einem Drittel einer großen Anzahl von Spielen zum Erfolg. Das widerspricht einer ersten Intuition ↗