Injektivität
Linkeseindeutigkeit einer Relation
Basiswissen
Eine Funktion f: X ⭢ Y ist injektiv, wenn es zu jedem Element y der Zielmenge Y höchstens ein (also eventuell auch gar kein) Element x der Ausgangs- oder Definitionsmenge X gibt, das darauf zielt, wenn also nie zwei verschiedene Elemente der Definitionsmenge auf dasselbe Element der Zielmenge abgebildet werden. Das ist hier kurz vorgestellt.
Definition
- Für jedes x gibt es genau ein y.
- Und: jedes y hat höchstens ein x.
Legende
- Man hat eine Menge X, sie heißt Definitionsmenge ↗
- Man hat eine Menge Y, sie heißt Zielmenge ↗
- x ist ein beliebiges Element der Definitionsmenge.
- y ist ein beliebiges Element der Zielmenge.
Beispiele
- f(x)=x
- f(x)=4
Keine Injektion
Ist eine Injektion immer auch eine Funktion?
Ja, bei eine Injektion muss jeder x-Wert immer auch genau einen y-Wert haben. Genau das ist die notwendige und auch hinreichende Bedingung für eine mathematische Funktion ↗
Ist jede Funktion immer auch eine Injektion?
Nein, wie da Beispiel des schlangenlinianartigen Graphen von f(x)=sin(x) zeigt: bei diesem Graphen gibt es y-Werte, die mehreren verschiedenen y-Werten zugeordnet sind. So ist der y-Wert 1 der Sinusfunktion sowohl dem x-Wert 90° wie auch 450° oder 810° zugeordnet. Siehe auch f(x)=sin(x) ↗
Sprechweisen
- Die Relation heißt auch injektiv ↗
- Ein anderes Wort ist linkseindeutig ↗