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Funktion


Definition | Eigenschaften


Definition


Eine Funktion ordnet jedem Element der Quellmenge (Definitionsmenge) genau ein Element der Zielmenge (Wertemenge) zu. Diese Elemente können Namen von Menschen, Farben, Körpergrößen, Gehälter oder psychologische Typen sein. Sehr oft geht es überhaupt nicht um Zahlen. In der Schulmathematik hingegen beziehen sich Funktion fast immer nur auf Zahlen. Man hat dann für jeden x-Wert immer ganz genau einen y-Wert (nicht mehr und nicht weniger). In einem xy-Koordinatensystem dargestellt erkennt man eine Funktion daran, dass es keine zwei (oder mehr) Punkte gibt die senkrecht übereinander liegen. Eine typische Schreibweise ist f(x).

Was meint Funktion in der Schulmathematik?

◦ In der Schulmathematik ist eine Funktion meistens eine Gleichung.
◦ Links steht ein f(x) oder ein y und rechts ein Funktionsterm.
◦ Man kann rechts für x irgendeine beliebige Zahl einsetzen.
◦ Damit rechnet man die rechte Seite aus.
◦ Das Ergebnis ist dann f(x) oder y.
◦ Die Gleichung ordnet jedem x-Wert ...
◦ dadurch genau einen y-Wert zu.

Was ist das Besondere an einer Funktion?


◦ Das Besondere ist, dass zu jedem x-Wert immer genau ein y-Wert passt.
◦ Zu jeder x-Zahl, die man in die Funktionsgleichung einsetzt ...
◦ passt immer genau eine y-Zahl, dass die Gleichung aufgeht.

Beispiel für eine Funktion


◦ Wir nehmen die Gleichung: f(x)=4x+1
◦ Man könnte auch schreiben: y=4x+1
◦ Man kann jetzt gedanklich irgendeine Zahl für x einsetzen.
◦ Wir nehmen die Zahl 100. Dann kommt auf der rechten Seite 401 heraus.
◦ Welche Zahl muss man für y einsetzen, dass die Gleichung aufgeht?
◦ Es passt nur die Zahl 401.
◦ Also passt für x=100 nur y=401.
◦ Das nennt man eine eindeutige Zuordnung:
◦ Zu dem x-Wert passt genau eindeutig ein y-Wert.
◦ Und genau so etwas nennt man eine Funktion.

Beispiel für "keine Funktion"


◦ Wir nehmen die Gleichung y²=x.
◦ Man kann wieder für x irgendeine Zahl einsetzen.
◦ Wir nehmen die Zahl 4.
◦ Welche y-Werte würden passen, dass die Gleichung aufgeht?
◦ Man kann für y zum Beispiel die 2 einsetzen: denn 2·2 gibt 4.
◦ Man kann aber auch die -2 einsetzen, denn: -2·(-2) gibt auch 4.
◦ Jetzt passen zu einem x-Wert plötzlich 2 y-Werte.
◦ Und das ist für eine Funktion nicht erlaubt.
◦ y²=x ist also keine eindeutige Zuordnung.
◦ Es ist eine mehrdeutige Zuordnung.

Was meint das f(x)?


◦ In Schulbüchern wird manchmal das f(x) und manchmal das y geschrieben.
◦ Man benutzt das f(x) gerne, um damit zu zeigen, dass es um eine Funktion geht.
◦ Wenn man liest: f(x)=x²-2, dann weiß man: das ist wirklich eine Funktion.
◦ Wenn man liest: y=x²-2, dann kann es - muss aber keine - Funktion sein.

Wie erkennt man Funktionen an Graphen?


◦ Die x-Achse muss von links nach rechts gehen.
◦ Die y-Achse muss von unten nach oben gehen.
◦ Wenn das so ist, dann funktioniert immer die folgende Methode:
◦ Man überprüft, ob der Graph irgendwo zwei oder mehr Punkte ...
◦ senkrecht übereinander hat. Wenn ja, gehört er nicht zu einer Funktion.
◦ Ansonsten schon.

Siehe auch


=> Funktionen [Beispiele, Arten]
=> Keine Funktionen [Gegenbeispiele]
=> Zuordnung oder Funktion [Unterschied]
=> Gleichung oder Funktion [Unterschied]
=> Funktionsterm ohne x
=> f(x) aus Text => qck
=> Funktionenlehre
=> eng





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