R
Grundschule Mathematik I Mathematik II Physik Chemie Wissen
Kurze Worte Worte nach Alter Terme Rechner
Mathfeed Physfeed Philfeed
Das Lexikon Die Mission Die Autoren Copyright Impressum
☰


Abzählbare Menge


Höhere Mathematik


Definition


Eine Menge nennt man abzählbar, wenn man ihre Elemente sinnvoll durchnummerieren kann. Man nennt solche Mengen dann auch gleichmächtig zur Menge der natürlichen Zahlen. Ihre Mächtigkeit bezeichnet man mit dem ersten Buchstaben des hebräischen Alphabets, versehen mit einer rechts unten tiefgestellten 0 als Index. Das ist hier mit einem Beispiel und einem Gegenbeispiel kurz erklärt.

Endlich und abhählbar: die Menge der 8 Planeten


In unserem Sonnensystem gibt es die acht Planeten Merkur, Venus, Erde, Mars, Jupiter, Saturn und Uranus. Man kann diese Planeten in eine Reihenfolge bringen und dann sinnvoll durchnummerieren, zum Beispiel kriegt der Merkur die Nummer 1, die Venus die Nummer 2 und die Erde die Nummer 3. Wichtig ist dabei, dass beim beim Durchnummerieren dabei keine Planeten überspringen, das heißt auslassen muss, also vernachlässigt. Das geht im Beispiel problemlos, da es zwischen zwei benachbarten Planeten keinen weiteren Planeten gibt. Alle Mengen, mit einer endlichen Anzahl von Elementen sind auf jeden Fall abzählbar. Wie viele Elemente eine Menge enthält nennt man auch die Mächtigkeit einer Menge ↗

Unendlich und abzählbar: die Menge der Sekunden seit Jesus Geburt


Wenn man gedanklich den Moment der Geburt von Jesus als Zeitpunkt 0 festlegt, kann man von dort ausgehend sinnvoll die ganzen Sekunden zählen, die seitdem vergangen sind. Zumindest theoretisch ist die Menge der möglichen Sekundenzahlen seit Jesu Geburt unendlich groß. Man hat jetzt eine sogenannte unendliche Menge. Aber man könnte die Sekunden problemlos durchnummerieren. Man würde dabei keine Sekunde auslassen müssen. Auch diese Menge mit unendlich vielen Elementen ist also abzählbar. Man sagt, sie habe dieselbe Mächtigkeit wie die Menge der natürlichen Zahlen ℕ, beide Mengen bezeichnet man als gleichmächtig[1, Seite 343]. Die Mächtigkeit einer Menge ist die Anzahl ihrer Elemente. Man kann aber die Mächtigkeit aller mögichen Sekunden seit Jesu Gibt nicht mehr mit einer natürlichen Zahl selbst angeben. Als Platzhalter für diese nicht angebbare verwendet man das Zeichen Aleph 0 [ℵ₀] ↗

Unendlich und nicht abzähbar: die Menge der reellen Zahlen (ℝ)


Reell nennt man alle Zahlen, die irgendwo auf der Zahlengeraden liegen können. Dazu gehören die natürlichen Zahlen (1, 2, 3 etc.) aber auch alle Kommazahlen, alle Bruchzahlen und alle irrationalen Zahlen (z. B. Pi). Für die reellen Zahlen gilt nun der interessante Umstand, dass man zwischen zwei bestimmte reelle Zahlen immer eine dritte Zahl dazwischen packen kann. Das hat zur Folge, dass man für reelle Zahlen auch keine echten Nachbarzahlen angeben kann. Was soll der Nachbar von 2,0 sein? 2,01? Oder 2,001? Oder 2,00000000001? Man kann das Spiel ewig weiter treiben. Damit kann man aber reelle Zahlen auch nicht sinnvoll durchnummerieren. Zwischen die zweite reelle Zahl und die dritte reelle Zahl könnte man ja immer noch eine weitere reelle Zahl dazwischenpacken. Die reellen Zahlen sind damit nicht mehr abzählbar. Man nennt eine solche Menge dann auch überabzählbar[1, Seite 343]

Zahlenarten und ihre Abzählbarkeit


Fußnoten