Gesetz der Nachbarquadrate
Zahlentheorie
Basiswissen
16 und 25 sind zwei benachbarte Quadratzahlen. Der Abstand von der 16 zur 25 ist das doppelte von der Wurzel von 16 und dieses Zwischenergebnis erhöht um die Zahl Eins. Diese Regel gilt für alle aufeinanderfolgenden Quadratzahlen.
Beispiele zum Gesetz der Nachbarquadrate
- Der Abstand von 1 nach 4 ist -> 2·√1+1 -> 3
- Der Abstand von 4 nach 9 ist -> 2·√4+1 -> 5
- Der Abstand von 9 nach 16 ist -> 2·√3+1 -> 7
- Der Abstand von 16 nach 25 ist -> 2·√16+1 -> 9
- Der Abstand von 25 nach 36 ist -> 2·√25+1 -> 11
- Der Abstand von 36 nach 49 ist -> 2·√36+1 -> 13
Allgemeine Schreibweise des Gesetzes der Nachbarquadrate
Wenn man die zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahlen mit q und Q bezeichnet, und wenn q die kleinere der zwei Nachbarquadrate ist, dann kann man das Gesetz in allgemeiner Form auch so schreiben:
- Abstand = 2·√q+1
Dieser Schritt, nämlich von einigen betrachteten Einzelfällen wie den Beispieln oben, hin zu einer allgemeingültigen Formel, die dann für alle Nachbarquadrate überhaupt gelten soll, nennt man eine Verallgemeinerung ↗
Das Gesetz der Nachbarquadrate anschaulich hergeleitet
Das Gesetz der Nachbarquadrate wird oft als Beispiel dafür genutzt, wie Denken in Zahlen (Rechenbeispiele), das Denken in Formeln (2·√q+1) und das anschauliche Denken miteinander verbinden lassen[1]. Die beiden ersten Denkweisen haben wir oben schon kennen gelernt. Betrachten wir jetzt die anschauliche Deutung.
Eine Quadratzahl kann immer als der Flächeninhalt eines echten geometrischen Quadrats gedeutet werden. Wenn n die Länge des Quadrats (und damit auch dessen Breite) ist, dann ist n² die dazugehörige Quadratzahl. Der Flächeninhalt kann hier durch Kreisplättchen dargestellt werden. Jedes Plättchen benötigt eine Flächeneinheit des Quadrats. Hier ist ein Quadrat der Länge n=3 und der Fläche q=9:
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Wie kommt man nun zum nächstgrößeren Quadrat? Man legt einmal rechts und einmal ganz unten eine neue Reihe in der Länge des alten Quadrats neu an:
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Jeder der zwei neu angelegten Streifen hat dabei die Länge des alten Quadrats, nämlich n. Und die Länge n ist genau gleich der Wurzel der alten Quadratflächen. Wir haben also bisher 2 Stückchen der Länge n oder kurz 2n hinzugefügt. Nun fehlt noch ein Plättchen ganz unten rechts in der Ecke. Das ist Erhöhung um Eins. Man rechnet als schlussendlich:
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Betrachtet man den ganzen Ablauf, ergibt sich daraus auf anschaulichen Weg die Formel: wir hatten begonnen mit der Fläche q des ersten Quadrates. Das war die Zahl 9. Dann haben wir davon die Wurzel n gezogen, also √q. Das gab die Zahl 3. Das haben wir dann verdoppelt, was 2n oder als Zah 6 ergab. Und das wurde dann noch um Eins erhöht, also:
- Die Schritte einzeln: Fläche q nehmen, daraus die Wurzel ziehen, das verdoppeln, das plus eins
- Oder kurz als vereinfachter Term: 2·√q+1
Ähnlich: das Odd number theorem
Der Abstand zwischen zwei Quadratzahlen ist immer gleich der Summe der ersten n ungeraden Zahlen, wobei n die Wurzel der kleineren der zwei Nachbarquadrate ist. Das führt zu einer ähnlichen Betrachtung, die bekannt ist unter dem Namen Odd number theorem ↗
Quaestiones
- 1) Der Name "Gesetz der Nachbarquadrate" ist kein allgemein gebräuchlicher Begriff. Kennt jemand den "offiziellen" Namen des hier beschriebenen Gesetzes? Falls ja, freue ich mich über einen Hinweis an Rhetos Kontakt ↗
Fußnoten
- [1] Seit dem Jahr 2010 beobachten wir in unserer Lernwerkstatt in Aachen, dass Schüler oft dann größere Probleme in der Mathematik haben, wenn eine der drei Denkweisen kaum oder gar nicht ausgebildet ist oder eine der drei Denkweisen die anderen verdrängt oder der Wechsel zwischen diesen Denkweisen nicht flüssig läuft. Die Vorstellung, dass mathematisches Denken mehrere Denkweisen miteinander verbindet ist der Kerngedanke von Stanislaw Dehaenes Triple-Code Modell ↗