Bildbeschreibung und Urheberrecht
Erste Ableitung als Änderungsverhältnis

Anschauliche Deutung von f'(x) anhand von einfachen Versuchen

◦ Setzt man in f'(x) für x eine konkrete Zahl ein, ...
◦ dann erhält man auch für f'(x) eine konkrete Zahl.
◦ Beispiel: Man f'(x) = 2x. Man setzt für x die 3 ein.
◦ Das ergibt dann für f'(x) die Zahl 6.
◦ Was bedeutet diese Zahl 6 an der Stelle x=3?
◦ Das meint: Verändert man in der Nähe von x=3 ...
◦ den x-Wert geringfügig, dann ändert sich der ...
◦ dazugehörige y-Wert - oder f(x) ungefähr 6mal so stark.
◦ Mehr dazu unter => Erste Ableitung als Änderungsverhältnis

Quadratflächenwachstum

◦ Hintergrund ist der Versuch aus => Kiste 1 Quadratflächenwachstum
◦ x steht für die Seitenlänge eines Quadrates.
◦ f(x) steht dann für den Flächeninhalt.
◦ Die Funktionsgleichung ist: f(x)=x²
◦ Was bedeutet dann f'(x), z. B. bei x=3?
◦ f'(3) wäre 6. Bei x=3 hat die erste Ableitung den Wert 6.
◦ Das meint: wenn man in der Nähe von x=3 den x-Wert wenig ändert ...
◦ dann ändert sich der y-Wert - also f(x) - ungefähr 6 mal so viel.
◦ Dazu einen Zahlenprobe: Bei genau x=3 ist f(x) genau 9.
◦ Jetzt erhöhen wir x um 0,1.
◦ Dann sollte sich der y-Wert um etwa das 6-fache, also um 0,6 erhöhen.
◦ f(3,1) gibt genau 9,61, das ist ungefähr 0,6 mehr als vorher.
◦ Es passt also: die erste Ableitung sagt, wie viel mal so viel ...
◦ sich der y-Wert ändert, wie der x-Wert.

Einseitiger Hebel

◦ Hintergrund ist der Versuch => WH54 einseitiger Hebel
◦ Lies die Beschreibung für ein anschauliches Bild.
◦ Die Funktionsgleichung ist f(x) = 10:x
◦ Die erste Ableitung ist: f'(x) = -10:x²
◦ Hält man den Hebel bei x = 2 cm, braucht man 5 Newton Kraft.
◦ f'(2) ist genau -2,5. Das heißt Folgendes:
◦ Man man x um 0,1 cm größer, dann müsste die Kraft um das 2,5fache davon abnehmen.
◦ Die Kraft müsste sich also um 0,25 Newton auf 4,75 Newton verringern.

Kreisumfangswachstum

◦ Hintergrund ist der Versuch => Kiste 1 Kreisumfangswachstum
◦ Die Funktion "f(x) = Pi mal Durchmesser" beschreibt den Umfang.
◦ Die erste Ableitung davon ist f'(x)=Pi.
◦ Das sagt: wenn man den Durchmesser eines beliebigen Kreises ...
◦ um einen kleinen Betrag delta-x verändert, dann verändert sich ...
◦ der Umfang dort um etwa das 3,14fache.

Gummibandversuch

◦ Hintergrund ist => quintische Funktion aus Gummibandversuch
◦ Eine ganzrationale Funktion vom Grad 5 beschreibt die Längung eines Gummibandes.
◦ Das Funktionsargument x steht für das unten angehängte Gewicht in Gramm.
◦ Der Funktionswert f(x) steht für die Gesamtlänge des Gummibandes.
◦ Eine beliebige Stelle x meint dann anschaulich eine bestimmte Länge.
◦ Die Ableitung an einer beliebigen Stelle sagt dann, wie viel mal ...
◦ so stark sich der f(x)-Wert ändern würde wie der x-Wert, wennn ...
◦ man bei dieser Länge noch etwas Zusatzgewicht unten anhängt.

Siehe auch

=> Erste Ableitung [Übersicht]
=> Erste Ableitung bilden