Bildbeschreibung und Urheberrecht Erste Ableitung

Sagt, wie steil eine Kurve an einer Stelle ist (die Steigung)

Formale Definition

◦ Eine Funktion f(x) einmal ableiten gibt die erste Ableitung.
◦ Die erste Ableitung selbst ist wieder eine Funktion.
◦ Beispiel: f(x)=x² gibt abgeleitet f'(x)=2x

Schreibweisen

◦ Es gibt verschiedene Schreibweisen.
◦ Üblich ist f'(x), sprich: f-strich von x.
◦ Seltener ist dy/dx, sprich: delty-y durch delty-x

Deutung als Steigung

◦ Setzt man in f'(x) einen x-Wert ein,
◦ dann sagt der y-Wert von f'(x),
◦ welche Steigung f(x) dort hat.
◦ Mehr unter => Steigung in einem Punkt

Deutung als Änderungsverhältnis

◦ Setzt man in f'(x) für x eine konkrete Zahl ein, ...
◦ dann erhält man auch für f'(x) eine konkrete Zahl.
◦ Beispiel: Man f'(x) = 2x. Man setzt für x die 3 ein.
◦ Das ergibt dann für f'(x) die Zahl 6.
◦ Was bedeutet diese Zahl 6 an der Stelle x=3?
◦ Das meint: Verändert man in der Nähe von x=3 ...
◦ den x-Wert geringfügig, dann ändert sich der ...
◦ dazugehörige y-Wert - oder f(x) ungefähr 6mal so stark.
◦ Mehr dazu unter => Erste Ableitung als Änderungsverhältnis

Deutung als Änderungsrate

◦ Änderungsrate ist ein Änderungsverhältnis mit x als Zeitmaß.
◦ Auf der x-Achse ist also die Zeit aufgetragen, auf der y-Achse etwas Beliebiges.
◦ Die erste Ableitung sagt dann, wie viel mal so stark sich der y-Wert ändert ...
◦ wie der Zeitwert. Anders gesagt: das Verhältnis von y-Änderung zur Zeit-Änderung.
◦ Mehr dazu unter => Änderungsrate

Zahlenbeispiel

◦ f(x)=x² abgeleitet gibt f'(x)=2.
◦ Setzt man z. B. x=3 in f'(x) ein, ...
◦ dann ist der y-Wert von f'(3) genau 6.
◦ Dann hat f(x) an der Stelle x=3 die Steigung 6.

Monotonie

◦ Wo f'(x) größer ist als 0, ist f(x) => streng monoton steigend
◦ Wo f'(x) kleiner ist als 0, ist f(x) => streng monoton fallend
◦ Wo f'(x) 0 oder größer ist, ist f(x) => monoton steigend
◦ Wo f'(x) 0 oder kleiner ist, ist f(x) => monoton fallend

Besondere Punkte

◦ Wert der ersten Ableitung => Steigung in einem Punkt
◦ Erste Ableitung ist Null, möglicher => Hochpunkt
◦ Erste Ableitung ist Null, möglicher => Tiefpunkt
◦ Erste Ableitung ist Null, möglicher => Sattelpunkt

Siehe auch

=> Steigungswinkel aus erster Ableitung
=> Erste Ableitung bilden
=> Ableitung [Übersicht]
=> eng






Startseite
Impressum
© 2019