Zweidimensionale Extrempunkte berechnen
Kurzanleitung für f(x;y)
Basiswissen
Zweidimensional nennt man Funktionen mit zwei unabhängigen Variablen. Ihre Graphen sind oft Flächen in einem 3D-Koordinatensystem mit x-, y- und z-Achse. Sie zu berechnen heißt, ihre x- und y-Werte zu rechnerisch zu bestimmen. Das Vorgehen ähnelt stark dem eindimensionaler Funktion mit f(x). Das Vorgehen ist hier kurz erläutert.
1. Schritt
- Man bildet die partielle Ableitung erster Ordnung nach x - sie heißt hier: fx
- Man bildet die parteille Ableitung erster Ordnung nach y - sie heißt hier: fy
- Man bildet die partielle Ableitung zweiter Ordnung nach x - sie heißt hier: fxx
- Man bildet die parteille Ableitung zweiter Ordnung nach y - sie heißt hier: fyy
2. Schritt
- Notwendige Bedingung:
- Man setzt gleich 0: die partielle Ableitung erster Ordnung nach x
- Man setzt gleich 0: die partielle Ableitung erster Ordnung nach y
- Man erhält dadurch ein Gleichungssystem mit x und y als Unbekannte.
- Man löst das Gleichungssystem (LGS) und hat für x und y je einen Zahlenwert.
- Die erhaltenen x-y-Zahlenpaare sind die x- und y-Werte möglicher Hochpunkte.
3. Schritt
- Hinreichende Bedingung:
- Man setzt die bisher gefundenen Werte ein in: fxx·fyy-f²xy
- Ist das Ergebnis größer als 0, liegt sicher ein Extrempunkt vor:
4. Schritt
- Extrempunktart bestimmen:
- Man setzt dann die möglichen x- und y-Werte ein in fxx:
- Ist das Ergebnis < 0 ⭢ relativer Hochpunkt
- Ist das Ergebnis > 0 ⭢ relativer Tiefpunkt
Fußnoten
- Sinngemäß nach: Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Band 2. 14. Auflage, 2019. ISBN: 978-3-658-07789-1. Verlag Springer Vieweg. Siehe unter Der Papula ↗