WH54 Fachwortlexikon
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Schnittpunkte von Parabeln mit Parabeln berechnen


Schritt-für-Schritt Anleitung


Basiswissen


Parabel meint hier den Graph einer quadratischen Funktion. Ein Schnittpunkt ist jeder Punkt, der gleichzeitig auf zwei Parabeln liegt. Dazu gibt es ein Berechnungsmethode, die immer funktioniert.

Lösungsidee


◦ Schnittpunkte sind Punkte, die gleichzeitig auf zwei Parabeln liegen.
◦ Im Schnittpunkt sind also die x- und y-Werte von beiden Parabeln gleich.
◦ Dies drückt man mathematisch durch Gleichsetzen der Gleichungen aus.

1. Umstellen


◦ 1. Man hat zwei Parabelgleichungen gegeben.
◦ 1. Beide müssen auf der linken Seite das y alleine stehen haben.
◦ 1. Statt y steht oft links auch ein f(x). Beides meint hier dasselbe.
◦ 1. Falls ein y noch nicht links alleine steht, muss man erst umstellen.
◦ 1. Parabel a gegeben: -7 = 3x² - 5x - y
◦ 1. Parabel b gegeben: y = 1x² + 3x + 1
◦ 1. Parabel a umgestellt: y = 3x² - 5x + 7
◦ 1. Parabel b umgestellt: y = 1x² + 3x + 1

2. Gleichsetzen


◦ 2. Auf beiden Seiten steht jetzt das y alleine.
◦ 2. Im nächsten Schritt setzt man die rechten Seiten gleich:
◦ 2. 3x² - 5x + 7 = 1x² + 3x + 1

3. Lösen


◦ 3. Man hat eine Gleichung mit nur noch einer Unbekannten (x).
◦ 3. Vom Typ her ist das bei Parabeln immer eine quadratische Gleichung.
◦ 3. Man bringt diese Gleichung durch Umformungen in die Normalform.
◦ 3. Die Normalform einer quadratischen Gleichung ist: 0 = x² + px + q
◦ 3. 3x² - 5x + 7 = 1x² + 3x + 1 | -1x² | -3x | -1
◦ 3. 2x² - 8x + 6 = 0 | :2
◦ 3. x² - 4x + 3 = 0 | Seiten tauschen
◦ 3. 0 = x² - 4x + 3 = 0
◦ 3. Jetzt die pq-Formel benutzen (geht immer):
◦ 3. Die Lösungen sind dann:
◦ 3. x = 1
◦ 3. x = 3

4. y-Werte bestimmen


◦ 4. Mit der pq-Formel hat man die x-Werte der Schnittpunkte bestimmt.
◦ 4. Jetzt braucht man noch die y-Werte der Schnittpunkte.
◦ 4. Dazu setzt man jeden x-Wert in eine der beiden Anfangsgleichungen ein.
◦ 4. Es ist egal, welche der beiden Gleichungen man nimmt.
◦ 4. Mit beiden kommen dieselben y-Werter heraus.
◦ 4. Hier nehmen wir Parabel, da sie einfacher ist:
◦ 4. Parabel b: y = 1x² + 3x + 1
◦ 4. Man setzt nacheinande die gefunden x-Werte in.
◦ 4. x=1 einsetzen: y = 1·1² + 3·1 + 1 gibt: y = 5
◦ 4. x=3 einsetzen: y = 1·3² + 3·3 + 1 gibt: y = 19
◦ 4. Ein x- und ein y-Wert zusammen sind dann ein Schnittpunkt.
◦ 4. Man hat also als Schnittpunkte bestimmt:
◦ 4. S1 (1|5)
◦ 4. S2 (3|19)

Besonderheiten


◦ Liefert die pq-Formel nur eine Lösung, gibt es nur einen Schnittpunkt.
◦ Liefert die pq-Formel keine Lösung, gibt es keine Schnittpunkte.
◦ Fällt mit dem Gleichsetzen das x-quadrat weg, gibt es nur einen Schnittpunkt.
◦ Man löst dann die lineare Gleichung nach x auf.

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