Nullstellen über Substitution
0 = 2x⁴-16x²+30
Basiswissen
Die Gleichung oben heißt biquadratisch. Solche Gleichungen kann man immer auf die pq-Formel reduzieren und dann lösen. Sie kann zwischen 0 und 4 Lösungen haben. Hier wird das Lösungsverfahren Schritt-für-Schritt erklärt.
Wie muss die Gleichung aussehen?
◦ Im Funktionsterm kommen nur gerade Exponenten von x.
◦ Gerade Exponenten wären: 0; 2; 4; 6 und so weiter.
◦ Als Faktor dürfen vor dem x auch noch Zahlen stehen.
◦ Weil x⁰ immer eins gibt, wäre 8x⁰ dasselbe wie 8.
◦ Es dürfen also immer auch reine Zahlen vorkommen.
Bei welchen Gleichungen funktioniert die Methode?
◦ f(x) = 2x⁴ - 3x² + 4
◦ f(x) = -0,5x⁴ + x²
◦ f(x) = x⁴
Bei welchen Gleichungen funktioniert die Methode nicht?
◦ f(x) = 2x⁴ + x³
◦ f(x) = x⁴ + x
◦ f(x) = 2x⁴ - 3x² + 2x
Wie sieht ein Rechenbeispiel aus?
◦ f(x) = 2x⁴ - 16x² + 30
◦ Von dieser Funktion sind die Nullstellen gesucht.
◦ Man setzt also f(x) = 0 und erhält die Gleichung:
◦ Biquadratische Gleichung: 0 = 2x⁴ - 16x² + 30
◦ Diese Gleichung wird jetzt über Substitution gelöst.
1. Schritt: Substitution
◦ Man schreibt die Substitution auf: x²=z.
◦ Weil x⁴ = x²·x² = (x²)² = z² ist, schreibt man auch: x⁴ = z².
◦ Man scheibt die Gleichung mit z statt mit x neu hin:
◦ Quadratische Gleichung mit z: 0 = 2z² - 16z + 30
◦ Quadratische Gleichungen kann man immer ...
◦ über die pq-Formel lösen. ✔
2. Schritt: pq-Formel vorbereiten
◦ Man hat jetzt eine quadratische Gleichung mit z.
◦ Für die pq-Formel muss man sie immer erst in die Normalform bringen.
◦ Das heißt vor allem: vor dem z² darf kein Faktor stehen.
◦ Hier steht noch die 2 vor dem z², also erst durch 2 teilen:
◦ 0 = 2z² - 16z + 30 | :2
◦ 0 = z² - 8z + 15 ✔
3. Schritt: pq-Formel
◦ Die pq-Formel lautet: x = -p/2 ± Wurzel aus [(p/2)²-q]
◦ In der Gleichung 0 = z² - 8z + 15 sind: p=-8 und q=+30
◦ Einsetzen und lösen liefert 2 Lösungen: z = 3 und z = 5 ✔
4. Schritt: Rücksubstitution
◦ Man hat jetzt erst die Lösung für z.
◦ Man sucht sie aber für x.
◦ Die Substitution war: x²=z
◦ Jetzt setzt man für z die gefundenen Lösungen ein:
◦ x²=3 und x²=5. Das sind zwei Gleichungen, die man löst:
◦ Das führt zu den folgenden vier Zeilen:
◦ x₁ = +(Wurzel aus z₁), wäre oben etwa +1,73 ✔
◦ x₂ = -(Wurzel aus z₁), wäre oben etwa -1,73 ✔
◦ x₃ = +(Wurzel aus z₂), wäre oben etwa +2,24 ✔
◦ x₄ = -(Wurzel aus z₂), wäre oben etwa -2,24 ✔
Tipps
◦ Es kann sein, dass es keine, eine, zwei, drei oder vier Nullstellen gibt.
◦ Aus einem negativen z können nie Nullstellen mit x werden.
◦ x^6 und x³ kann man auch als z² bzw. z substituieren.
