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Teiler von der Null


Definition


Basiswissen


Je nachdem ob man Teiler nur für natürliche (immer positiv, ohne die 0) oder die ganzen Zahlen (auch negativ, mit der 0) definiert, hat die 0 entweder keinen oder aber unendlich viel Teiler. Das ist hier kurz erklärt.

Wie ist Teiler definiert?


Klein a ist ein Teiler von b wenn gilt: a·n=b. Dabei sind a, b und n je nach Definition nur natürliche Zahlen[2] oder alle ganzen Zahlen[3]. Abhängig davon, welche Definition man wählt, hat die 0 keinen oder unendlich viele Teiler.

Die Null hat keine Teiler


Definiert man Teiler nur für natürliche Zahlen (1, 2, 3, 4 etc.)[2], dann hat die 0 selbst keine Teiler und ihre Teilermenge ist die leere Menge. Die Null selbst gehört nicht zu den natürlichen Zahlen. Zur Begründung kann man eine Art Beweis nach dem Schema reductio ad absurdum durchführen: wenn eine natürliche Zahl n ein Teiler der Null wäre, dann müsste es eine andere natürliche Zahl geben, mit der n multipliziert wird und das Ergebnis Null gibt. Da es aber keine natürlichen Zahlen gibt, die als Produkt Null ergeben, hat die Zahl Null in den natürlichen Zahlen keinen Teiler. Siehe auch Teiler von einer Zahl ↗

Die Null hat unendlich viele Teiler


Definiert man Teiler nur für ganze Zahlen (-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 etc.)[3], dann hat die 0 selbst unendlich viele Teiler und ihre Teilermenge Hat die Mächtigkeit unendlich: jede ganze Zahl ist dann ein Teiler der Null. Denn zu jeder ganzen Zahl kann man immer als komplementären Faktor die Zahl 0 nehmen, sodass als Ergebnis der Multiplikation 0 herauskommt. Als Begründung kann man den Satz vom Nullprodukt nennen: im zufolge wird ein Produkt sofort und immer dann als Ergebnis Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Siehe auch Satz vom Nullprodukt ↗

Fußnoten