Aufleiten über Potenzregel
x² wird zu x³/3
Basiswissen
Aus der gegebenen Grundfunktion f(x) = x² wird die Stammfunktion F(x) = x³/3. Statt x³/3 schreibt man auch ⅓·x³, was rechnerisch dasselbe ist. Der Querstrich / steht dabei für einen Bruchstrich und meint so viel wie geteilt durch[1]. Aufleiten heißt auch integrieren. Das ist hier kurz vorgestellt.
Kurzanleitung
Man hat eine Funktion f(x)=x^n. In Worten: der Funktionsterm besteht aus einem x hoch eine Zahl genommen. Um eine solche Funktion aufzuleiten macht man den Exponenten eins größer und teilt dann den Funktionsterm durch den neuen Exponenten. Das Ergebnis ist dann F(x)=[x^(n+1)]/(n+1)
x hoch n aufleiten heißt: den Exponenten (das n) eins größer machen, dann durch den neuen Exponenten (n+1) teilen.
So wird aus f(x)=x¹ die aufgeleitete Funktion F(x)=x²/2. Das kann man auch schreiben als F(x)=½x². Statt den Funktionsterm durch den neuen Exponenten zu teilen, kann man den Funktionsterm auch mit 1 durch den neuen Exponenten multiplizieren. Beide Schreibweisen meinen dasselbe und sind verbreitet.
Beispiel: f(x)=x³ aufleiten
- Man hat gegeben eine Grundfunktion wie: f(x) = x³
- Rechts vom Gleichheitszeichen steht der sogenannte Funktionsterm.
- Das x ist hier die Basis, die 3 der Exponent und das Ganze die Potenz.
- Man rechnet den Exponenten erst plus eins: aus der 3 wird dann eine 4.
- Dann dividiert man den ganzen Funktionsterm durch diesen neuen Exponenten.
- Das Ergebnis ist: f(x) = x³ ⭢ aufleiten ⭢ F(x) = x^4/4
Oft wird noch ein C am Ende geschrieben
- Man schreibt oft: f(x) = x³ ⭢ aufleiten ⭢ F(x) = x^4/4 + C
- Tatsächlich gibt es als Lösung vom aufleiten unendliche viele Stammfunktionen.
- Warum das so ist, ist erklärt unter Integrationskonstante ↗
Rechentipps
- Geteilt durch drei ist dasselbe wie mal ein Drittel.
- Beispiel: 9/3 ist wie 9·⅓ oder auch ⅓·9
- Siehe auch Kehrwertdivision ↗
Fußnoten
- [1] In Fließtexten schreibt man den Bruch ½ auch als 1/2. Der Vorteil des Querstriches von links unten nach rechts oben ist, dass er auf so gut wie jeder Tastatur vorhanden ist. Man benötigt zum Schreiben keine Sonderzeichen. Vom Rechenergebnis her hat der Querstrich dieselbe Bedeutung wie ein Bruchstrich oder auch ein Geteiltzeichen ↗