Optimierungsaufgaben
15 Aufgaben, ab Klasse 10 mit Lösungen
Die Aufgaben sind gemischt. Als Lösungsverfahren können Probieren, Extremwertberechnungen oder andere Verfahren sinnvoll sein.
a) Zaunaufgabe (Hühner, Pferde, Kaninchen): Ein Landwirt will an einer Mauer einen rechteckigen Hühnerhof mit Maschendraht abgrenzen. Entlang der Mauer muss kein Draht gezogen werden. Der Bauer hat 20 Meter Maschendraht stehen zur Verfügung. Wie groß müssen die Rechteckseiten gewählt werden, damit die Hühner möglichst viel Platz haben?
b) Kistenaufgabe: Welche Maße besitzt ein Quader mit quadratischer Grundfläche und der Oberfläche 24 Quadratmeter, wenn das Volumen maximal sein soll?
c) Flächenaufgabe: Ein Gewölbegang hat einen Querschnitt von der Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis. Der Umfang U des Querschnitts ist mit 10m fest vorgegeben. Wie muss das Gewölbe gestaltetwerden, damit die Querschnittsfläche möglichst groß wird?
d) BWL-Aufgabe: Von einer Kaffeesorte werden bei einem Preis von 20 Euro für 1kg im Monat 10000 kg verkauft. Eine Marktforschung hat ergeben, dass eine Preissenkung von 0,02 Euro je kg jeweils zu einer Absatzsteigerung von 100 kg im Monat führen würde. Bei welchem Verkaufspreis wäre der Gewinn maximal, wenn für 1 kg Kaffee der Selbstkostenpreis 14 Euro beträgt?
e) Dosenaufgabe: Eine Ravioli-Dose soll ein Volumen von 800 Millilitern haben. Welchen Durchmesser und welche Höhe hat die Dose? Runde das Ergebnis auf ganze Zentimeter.
f) Streckenaufgabe: In einem Koordinatensystem soll ein Weg vom Punkt (0|6) zum Punkt (20|9) gefunden werden. Der Weg soll irgendwo die x-Achse berühren und möglichst kurz sein. Was ist der x-Wert des Berührungspunktes mit der x-Achse?
g) Materialaufgabe: Eine Zündholzschachtel soll 5 cm lang sein und das Volumen 45 Kubikzentimeter haben. Bei welcher Breite und Höhe braucht man zur Herstellung am wenigsten Material? Überlappungen werden vernachlässigt.
h) Volumenaufgabe: Ein Kessel besteht aus einer Halbkugel mit aufgesetztem Zylindermantel. Wie sind seine Maße zu wählen, damit er mit Deckel bei einer Oberfläche von 150 Kubikdezimeter ein möglichst großes Volumen hat?
i) Zaunaufgabe: Mit einer vorhandenen Rolle Zaun (darauf sind 50 m) soll ein möglichst großes Stück Land rechteckig eingezäunt werden.
j) Tragbalken: Aus einem Baumstamm, der einen durchgängig gleich großen kreisförmigen Querschnitt hat, soll ein Balken mit rechteckigem Querschnitt von möglichst großer Tragfähigkeit herausgeschnitten werden. Die Tragfähigkeit ist proportional zur Balkenbreite und zum Quadrat der Balkendicke. In welchem Verhältnis müssen Dicke und Breite des Balkens zueinander stehen?
k) Volumenaufgabe: Aus einem Stück Draht, das 36 cm lang ist, soll eine "Säule" mit quadratischem Grundriss geformt werden. Welches ist das maximal mögliche Volumen der Säule? Der Draht bildet sozusagen alle Kanten eines Quaders.
l) Zahlzerlegung: Die Zahl 100 soll so in zwei Summanden zerlegt werden, dass das Produkt der Summanden maximiert wird.
m) Zahlzerlegung: Die Zahl 1 soll so in zwei Summanden zerlegt werden, dass sie miteinander multipliziert ein möglichst großes Ergebnis geben.
n) Schachtelaufgabe: Gegeben ist ein Pappquadrat mit einer Seitenlänge von 20 cm. Aus diesem Quadrat sollen an den vier Ecken jeweils vier kleinere und gleich große Quadrate ausgeschnitten werden. Dadurch kann man dann die vier Seiten nach oben umknicken, wodurch eine Schachtel (ohne Deckel) entsteht. Wie groß muss die Seitenlänge der ausgeschnittenen Quadrate an den Ecken sein, sodass das Schachtelvolumen maximal wird?
o) Handyhalter
Eine Firma produziert Halter für Funktelefone (Handys). Dabei werden 4 Qualitätstufen hergestellt: A, B, C und D. Von A bis D steigt die mechanische Belastbarkeit hin immer weiter an. Der Halter vom Typ A würde schon beim Hinfallen auf den Boden zerbrechen, der Halter vom Typ D hingegen kann von einem kleinen Raupenfahrzeug überfahren werden ohne dabei zu zerbrechen. Die Bau- und Produktionsweise aller Halter ist im Weentlichen gleich, lediglich das verwendete Material unterscheidet sich. Typ A wird aus billigem Plastik hergestellt, Typ D aus einem robustem Metall. Für jeden Haltertyp gibt es eine eigene Maschine, die Firma hat also insgesamt 4 Maschinen. Jede Maschine verursacht 800 € Fixkosten pro Monat. Als variable Produktionskosten wird nur der Materialeinsatz für die Halter betrachtet: Typ A: 1 €/Stück Typ B: 2 €/Stück, Typ C: 3 €/Stück, Typ D: 4 €/Stück. Der Markt hat einen monatlichen Bedarf von genau 800 Stück. Jede einzelne Maschine hat eine Kapazität von 2000 Stück/Monat. Eine Marktanalyse hat ergeben: 200 Personen genügt Qualität A, 200 weiteren Personen genügt Qualität B, 200 weiteren genügt Qualität C und 200 Personen brauchen Qualität D (Industrieanwendungen). Jeder Käufer würde aber immer eine höhere Qualität kaufen, wenn er sie zu demselben Preis bekäme, wie seine bisherige Präferenz. Zurzeit produziert die Firma von jeder Qualität genau 200 Einheiten pro Monat. Ordnet man die Fixkosten einer Maschine sowie die variablen Kosten des Materials der jeweils produzierten Qualität zu, ergeben sich folgende Produktionskosten pro Stück. A: 5 €/Stück; B hat 6 €/Stück, C hat 7 €/Stück und D hat 8 €/Stück. Mache einen Vorschlag, wie sich unter den gegebenen Randbedingungen die Produktionskosten pro Stück für jede der 4 Qualitätsstufen verringern lässt.
