Äquivalenzumformung

5 Aufgaben mit Lösungen

• Gegeben ist die Gleichung: 4=3
  

• Sie ist für keinen Wert von x wahr.
  

• Die Lösungsmenge ist also die leere Menge: L={}
  

• Man formt nun um:
  

• 4=3 | ·x
  

• 4·x = 3·x
  

• Die Lösungsmenge hat sich verändert.
  

• Was ist jetzt die Lösungsmenge?
  

• Gegeben ist die Gleichung: x² = x
  

• Die Lösungsmenge ist: L={0;1}
  

• Nun dividiert man beide Seiten durch x:
  

• x²=x | :x
  

• Das gibt: x=1
  

• Was ist jetzt die Lösungsmenge?
  

• Gegeben ist die Gleichung: x-2 = 8
  

• Die Lösungsmenge ist: L={10}
  

• Nun quadriert man beide Seiten:
  

• x-2 = 8 | ²
  

• Das gibt: (x-2)² = 64
  

• Was ist die neue Lösungsmenge?
  

• Gegeben ist die Gleichung: (x+3)² = 121
  

• Die Lösungsmenge ist: L={-14;8}
  

• Von beiden Seiten die Wurzel ziehen:
  

• (x+3)² = 121 | √
  

• Das gibt: x+3 = 11
  

• Was ist die neue Lösungsmenge?
  

• Gegeben ist die Gleichung: 4x+2 = 7x-7
  

• Die Lösungsmenge ist: L={3}
  

• Nun multipliziert man beide Seiten mit 0:
  

• 4x+2 = 7x-7 | ·0
  

• Das gibt: 0 = 0
  

• Was ist die neue Lösungsmenge?
  

• Es sind zwei Gleichungen zum Vergleich gegeben.
  

• Römisch II entstand durch Quadrieren aus römisch I:
  

• I: x=4
  

• II: x·x = 16
  

• Bestimme die Lösungsmenge beider Gleichungen
  

• Die folgende Beweisführung, dass Eins gleich Null ist, enthält einen Fehler.
  

• Sie wird dem englischen Mathematiker August de Morgan zugeschrieben.
  

• Eine der Umformungen ist nicht äquivalent:
  

• Schritt 1: x=1
  

• Schritt 2: Beide Seiten mit x malnehmen: x·x=x
  

• Schritt 3: Eins auf beiden Seiten abziehen: x·x-1 = x-1
  

• Schritt 4: Beide Seiten durch x-1 teilen: (x·x-1):(x-1) = (x-1):(x-1)
  

• Schritt 5: Links dritte binomische Formel anwenden: x+1 = 1
  

• Schritt 6: Auf beiden Seiten eins wegnehmen: x=0
  

• Am Anfang wurde festgelegt, dass x immer 1 sein soll.
  

• Welcher der sechs Schritte war keine Äquivalenzumformung?