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Winkel über Skalarprodukt


Für den kleineren der zwei Winkel zwischen zwei Vektoren


Ziel


◦ Man hat zwei Vektoren gegeben.
◦ Gesucht ist der kleinere der zwei Winkel zwischen ihnen.
◦ Beispiel: Vektor A=(3|4|0) und Vektor B(5|12|0)
◦ Siehe auch => Winkel zwischen Vektoren

Formel


◦ alpha = arccos [(a·b)/(|a|·|b|)]

Legende


◦ alpha = der gesuchte Winkel
◦ a·b = Skalarprodukt von a und b
◦ |a| = der Betrag (Länge) des Vektors a
◦ |b| = der Betrag (Länge) des Vektors b

Erläuterung


◦ Man schreibt einen großen Bruchstrich.
◦ Man berechnet dann a·b, das ist das => Skalarprodukt
◦ Das gibt im Beispiel: 63
◦ Das Ergebnis wird als Zahlenwert oben auf den Bruchstrich geschrieben (Zähler).
◦ Man berechnet dann für die beiden Vektoren getrennt den => Vektorbetrag
◦ Für A ist der Vektorbetrag genau 5, für B ist der Vektorbetrag genau 13.
◦ Die beiden Beträge schreibt man beide in den Nenner des Bruches.
◦ Sie werden dort multipliziert, also mit einem Malpunkt verbunden.
◦ Der gesamte Bruch hat im Beispiel jetzt die Form: 63/(5·13)
◦ Den Wert des Bruches berechnen, gibt etwa: 0,97
◦ Von diesen Wert den Arcuscosinus berechnen (Taschenrechner).
◦ Auf einem Taschenrechner ist das oft => Cosinus hoch minus eins
◦ Das Ergebnis ist der kleinere Winkel zwischen den Vektoren
◦ Im Beispiel ist alpha etwa 14°.

Beispiele


◦ Die Vektoren (10|0|0) und (0|4|0) bilden einen Winkel von genau: 90°
◦ Die Vektoren (10|1|1) und (2|9|1) bilden einen Winkel von etwa: 71°
◦ Die Vektoren (10|1|1) und (9|1|1) bilden einen Winkel von etwa: 1°

Siehe auch


=> Vektorrechnung [Hauptseite]
=> Winkel zwischen Vektoren
=> Cosinustabelle Grad
=> Winkelschenkel
=> Arcuscosinus
=> Vektorbetrag





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