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Wendepunkte bestimmen


Anleitung


Basiswissen


Über f''(x) und f'''(x) oder auch das Vorzeichenkriterium oder graphisch: hier stehen Anleitungen, wie man Wendepunkte auf Graphen von Funktionen bestimmt. Übrigens: auch ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt, nur ein besonderer. Das wird hier mit behandelt.

Kurzanleitung



Die Kurzanleitung in Worten


Nimm die ursprüngliche Funktionsgleichung f(x) und bilde davon die zweite Ableitung f''(x). Setze diese zweite Ableitung gleich 0 und löse dann nach x auf. Die Zahl, die man für x erhält, ist der x-Wert des möglichen Wendepunktes. Bilde dann die dritte Ableitung. Sie sagt, ob für diesen x-Wert welche Art von Wendepunkt vorliegt oder ob es überhaupt ein Wendepunkt sein kann.

Was bedeutet diese Grundidee zur Lösung anschaulich?


An einem Wendepunkt wechselt die Krümmung des Graphen von Linkskrümmung zu Rechtskrümmung oder von Rechtskrümmung zu Linkskrümmung. Wo Linkskrümmung herrscht, ist der y-Wert der zweiten Ableitung immer positiv. Wo Rechtskrümmung herrscht ist der y-Wert der zweiten Ableitung immer negativ. Wo die Krümmung wechselt, ist der Graph weder links- noch rechtsgekrümmt. Damit ist die zweite Ableitung dort auch weder negativ noch positiv, sondern Null: wo ein Wendepunkt sein soll, muss die zweite Ableitung als y-Wert Null haben. Das ist der grundlegende Lösungsansatz zur Berechnung.

Was meint Punkt hier?



Wendepunkte graphisch bestimmen



Wendepunkte rechnerisch bestimmen


In der Schulmathematik werden Wendepunkte meist rechnerisch über die zweite und die dritte Ableitungen bestimmt. Die erste Ableitung spielt für Wendepunkte keine Rolle. Das ist hier Schritt für Schritt erklärt.

f'(x) und Wendepunkte



f''(x) und Wendepunkte



f'''(x) und Wendepunkte



LR und RL



Vorzeichenkriterium



Wie findet man den y-Wert?

  • Man nimmt die x-Werte von sicheren Wendepunkten.
  • Man setzt die x-Werte der gefundenen Wendepunkte in die ursprüngliche Funktion f(x) ein.
  • Was dabei rauskommt sind die y-Werte der Wendepunkte.
  • Im Beispiel wäre der x-Wert die Zahl 0.
  • In f(x) eingesetzt gibt das y=0.
  • Der WP ist also bei (0|0).

Tipp



Aufgaben dazu


Einige Aufgaben zur Bestimmung des Wendepunktes sind hier als Quickcheck zusammengestellt. Zu jeder Aufgabe gibt es immer auch eine Lösung. Direkt zu den Aufgaben über => qck