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Vektor


↗ Anschaulich als Pfeil


Als Vektor bezeichnet man in der Mathematik einen Pfeil in einem 2D- oder 3D-Koordinatensystem. Er wird oft mit zwei oder drei Zahlen - den Komponenten - geschrieben.

Beispiel


◦ Man habe ein xyz-Koordinatensystem.
◦ In diesem Koordinatensystem befinde sich der Vektor (4|3|5).
◦ Der Vektor hat ein hinteres Ende und eine vordere Spitze.
◦ Die drei Zahlen nennt man die Komponenten des Vektors.
◦ Die drei Komponenten sagen, wie man vom hinteren Ende zur Spitze kommt.
◦ Die erste Komponente sagt, wie weit man parallel zur x-Achse gehen muss.
◦ Die erste Komponente sagt, wie weit man parallel zur y-Achse gehen muss.
◦ Die erste Komponente sagt, wie weit man parallel zur z-Achse gehen muss.

Definition


◦ Ein Vektor ist ein Pfeil, den man sich in einem Koordinatensystem denkt.
◦ Ein Vektor hat gedacht ein hinteres Ende und eine Spitze vorne: ↗
◦ Ein Vektor hat eine Länge, man nennt sie den Betrag.
◦ Der Vektor (4|3|5) zum Beispiel hat etwa die Länge 7.
◦ Man kann den Vektor frei im Koordinatensystem verschieben.
◦ Er bleibt dadurch immer derselbe Vektor.
◦ Die Komponenten ändern sich dadurch nicht.
◦ (Das wäre bei einem Punkt anders.)

Tipps


◦ Wenn man einen Vektor parallel verschiebt bleibt er derselbe Vektor
◦ Diese drei Pfeile sind derselbe Vektor: ↗↗↗
◦ Wenn man die Länge eines Vektors ändert ist er danach ein anderer Vektor.
◦ Wenn man einen Vektor irgendwie dreht ist er danach ein anderer Vektor.
◦ Das sind zwei verschiedene Vektoren: ↗ und ←

Schreibweise


◦ In der Schulmathematik ist der Kontext meistens ein => 3D-Koordinatensystem
◦ Um den Vektor zu definieren fängt man gedanklich am hinteren Ende des Vektors an.
◦ Man geht dann in drei Schritten bis zur Spitze: in x-, in y- und in z-Richtung.
◦ Man gibt die drei Wegstrecken in x-, y- und z-Richtung als Zahlen an.
◦ Man nennt diese Zahlen Vektorkomponenten.
◦ Man schreibt sie senkrecht übereinander.
◦ Man setzt sie gemeinsam in eine große runde Klammer.
◦ Siehe auch => Vektorkomponente

Anwendungen


Vektoren spielen oft dann eine Rolle, wo Richtung und Stärke eine Rolle spielen. Bei der Berechnung von Luftströmungen kann es wichtig sein zu wissen, in welche Richtung und wie schnell ein Luftteilchen sich bewegt. Das kann man mit Hilfe eines Vektors ausdrücken: Der Vektorpfeil zeigt in die Richtung der Bewegung und die Vektorlänge steht für die Stärke der Bewegung, hier also die Geschwindigkeit. Eigenschaften, die man oft als Vektoren modelliert sind etwa die Gravitationskraft, Wasserströmungen, magnetischer Fluss, Sternen- und Flugzeugbewegungen. Siehe auch => Vektorrechnung

Höhere Mathematik


In der höheren Mathematik wird der hier erklärte anschauliche Vektorbegriff (Pfeil) erweitert: jede Liste von Zahlen, bei denen die Reihenfolge eine Rolle spielt kann als Vektor aufgefasst werden. Mehr dazu unter => Vektorraum

Mehr dazu?


◦ Das Rechnen mit Vektoren heißt in der Schulmathematik oft => lineare Algebra
◦ Oft heißt das Thema auch => analytische Geometrie
◦ Hier nennen wir es => Vektorrechnung

Siehe auch


=> Vektorkomponente
=> Vektorrechnung
=> Vektorbetrag
=> Vektorlänge
=> Vektorraum
=> eng





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