WH54 Fachwortlexikon
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Bildbeschreibung und Urheberrecht

Urnenmodelle


Vier zentrale Formeln für die Wahrscheinlichkeitsrechnung


Basiswissen


Die Urnenmodelle sind zentrale Modellvorstellungen der Kombinatorik. Mit einigen wenigen Modellen lassen sich sehr viele Fragestellungen bearbeiten. Man unterscheidet vier Grundtypen: Kombinationen und Variationen und beide jeweils mit Zurücklegen (Wiederholungen) oder ohne Zurücklegen (ohne Wiederholungen). Das wird hier vorgestellt.

Die Beispiel-Urne


◦ Die Anzahl von Kugeln in der Urne benennt man mit einem kleinen lateinischen n.
◦ Wir betrachtet hier beispielhaft eine Urne mit n = 3 Kugeln.
◦ Es gibt eine rote, grüne und blaue Kugel.
◦ Aus der Urne werden zufällige k Kugeln gezogen.
◦ Im Beispiel sei k = 2.

Das Ziehen von Kugeln


Beim Ziehen unterscheidet man mit Zurücklegen und ohne Zurücklegen. Beim Zurücklegen wird eine gezogene Kugel anschließend wieder in die Urne zurückgelegt. Sie kann also durchaus mehrmals gezogen werden, wodurch es Wiederholungen geben kann. Gibt es kein Zurücklegen, dann bleibt die Kugel draußen. Sie kann also nicht mehrmals gezogen werden und es gibt keine Wiederholungen.

Kombinationen und Variationen


Beim Betrachten des Ergebnisses unterscheidet man Kombinationen von Variationen. Bei Kombinationen interessiert nur welche Kugeln zusammen gezogen wurden. Ihre Reihenfolge ist egal. Erst Rot und dann Grün ziehen wäre also das gleiche wie erst Grün und dann Rot ziehen. rg und gr wären zusammen eine Kombination. Bei Variationen hingegen zählt man auch jede der unterschiedlichen Reihenfolge. rg und gr wären zwei Variationen.

Kombinationen mit Wiederholungen


◦ Möglichkeiten: rr gg bb gb gr rb
◦ Formel: n+k-1 über k
◦ Es gibt 6 => Kombinationen mit Wiederholungen

Kombinationen ohne Wiederholungen


◦ Möglichkeiten: gb gr rb
◦ Formel: n über k
◦ Das sind 3 Kombinationen
◦ Es gibt 3 => Kombinationen ohne Wiederholungen

Variationen mit Wiederholungen


◦ rr gg bb
◦ rg gb rb
◦ gr bg br
◦ Formel: n hoch k
◦ Es gibt 9 => Variationen mit Wiederholungen

Variationen ohne Wiederholungen


◦ rg gb rb
◦ gr bg br
◦ Formel: n Faktultät geteilt durch n-k Fakultät
◦ Es gibt 6 => Variationen ohne Wiederholungen

Fakultät


◦ Fakultät wird mit einem Ausrufezeichen abgekürzt:
◦ 1·2·3·4 ist 4 Fakultät oder kurz 4!

n über k


◦ n über k wird gerechnet als:
◦ n! / (n-k)!k!

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