WH54 Fachwortlexikon
Lernwerkstatt Aachen GbR
Mathematik | Physik | Chemie


Bildbeschreibung und Urheberrecht

Urnenmodelle


Vier zentrale Formeln für die Wahrscheinlichkeitsrechnung


Basiswissen


Beim Urnenmodell stellt man sich vor, dass es einen Behälter - die Urne - gibt, in der Kugeln liegen. Die Kugeln kann man nach Sorten unterscheiden. Meistens stellt man sich die Urnen in verschiedenen Farben wie weiß und schwarz vor. Man greift nun in die Urne und zieht einmal oder mehrmals hintereinander eine Kugel heraus. Die Frage ist immer, wie wahrscheinlich es ist, soundsoviele Kugeln von einer Sorte zu ziehen. Man unterscheidet vier verschiededene Fälle, für die es auch vier verschiedene Formeln gibt:

Wir haben eine Urne mit n = 3 Kugeln.
Es gibt eine rote, grüne und blaue Kugel.
Aus der Urne werden zufällige k = 2 Kugeln gezogen.

Beim Ziehen unterscheidet man mit Zurücklegen und ohne Zurücklegen. Beim Zurücklegen wird eine gezogene Kugel anschließend wieder in die Urne zurückgelegt. Sie kann also durchaus mehrmals gezogen werden. Gibt es kein Zurücklegen, dann bleibt die Kugel draußen. Sie kann also nicht mehrmals gezogen werden.

Beim Betrachten des Ergebnisses unterscheidet man Kombinationen von Variationen. Bei Kombinationen interessiert nur welche Kugeln zusammen gezogen wurden. Ihre Reihenfolge ist egal. Erst Rot und dann Grün ziehen wäre also das gleiche wie erst Grün und dann Rot ziehen. rg und gr wären zusammen eine Kombination. Bei Variationen hingegen zählt man auch jede der unterschiedlichen Reihenfolge. rg und gr wären zwei Variationen.

Wenn man k=2 Kugeln aus insgesamt n=3 Kugeln herauszieht, dann kann man jetzt vier Fälle unterscheiden. Für jeden Fall gibt es eine eigene Formel, um die Anzahl zu berechnen:

Kombinationen mit Zurücklegen
Möglichkeiten: rr gg bb gb gr rb
Formel: n+k-1 über k
Lösung müsste 6 sein.

Kombinationen ohne Zurücklegen
Möglichkeiten: gb gr rb
Formel: n über k
Lösung müsste 3 sein.

Variationen mit Zurücklegen
rr gg bb
rg gb rb
gr bg br
Formel: n hoch k
Lösung müsste 9 sein.

Variationen ohne Zurücklegen
12 23 13
21 32 31
Formel: n Faktultät geteilt durch n-k Fakultät
Lösung müsste 6 sein.

Fakultät wird mit einem Ausrufezeichen abgekürzt:
1*2*3*4 ist 4 Fakultät oder kurz 4!

n über k rechnet man so:
n! / (n-k)!k!

Siehe auch


=> Urnenmodelle
=> Über in der Kombinatorik
=> Fakultät
=> qck





© Sabine & Gunter Heim, 2020