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Steigung in einem Punkt


Interpretation | Berechnung unter => Steigung in einem Punkt berechnen


Basiswissen


Kurzdefinition: Funktionsgraphen können an unterschiedlichen Punkten unterschiedlich steil sein. Wie steil ein Graph an genau einem Punkt ist nennt man auch den Ableitungswert, oft kurz auch nur die Ableitung oder eindeutiger: die Steigung in einem Punkt. Diese Steigung kann beliebige - auch negative - Zahlenwerte annehmen.

Was meint Steigung an sich?


◦ Steigung wurde zunächst an einer Geraden definiert:
◦ An der Geraden werden zwei unterschiedliche Punkte markiert.
◦ Rechnet man den x-Unterschied der Punkt mal der Steigung, ...
◦ erhält man immer den y-Unterschied der Punkte. Anders gesagt:
◦ Die Steigung ist das Verhältnis des y- zum x-Unterschied zweier Punkte.
◦ Die Steigung ausrechnen kann man entsprechend darüber, dass man ...
◦ den y-Unterschied durch den x-Unterschied zweier Punkte teilt.

Muss man immer zwei Punkte haben?


◦ Ja, für die Berechnung braucht man immer zwei Punkte.
◦ Die Steigung sagt immer, wie steil der kürzeste Weg ...
◦ von einem Punkt zu einem anderen Punkt ist.

Was ist das Problem am Steigungsbegriff? =====

◦ In einem Punkt alleine gibt es keine Steigung.
◦ Erstens versagt die Formel zur Berechnung der Steigung.
◦ Man braucht zwei verschiedene Punkte zur Berechnung.
◦ Man könnte jetzt sagen, dass die zwei Punkte identisch wären.
◦ Dann wäre aber der x-Unterschied gleich 0 und man müsste durch 0 teilen.
◦ Auch gibt die Steilheit zwischen zwei identischen Punkten keinen Sinn.

Was meint dann Steigung in einem Punkt?


◦ Es gibt zwei unterschiedliche aber konsistente Deutungen:
◦ Als Tangentensteigung und als ...
◦ lokales Änderungsverhältnis.

Als Tangentensteigung


◦ Man sagt: die Steigung an einem Punkt P sei identisch mit ...
◦ der Steigung von der Tangente an diesem Punkt P.
◦ Mehr dazu unter => Tangentensteigung

Als Änderungsverhältnis


◦ Die Steigung im Punkt P ist die Steigung in der Umgebung von P.
◦ Umgebung in der Mathematik meint: beliebig nahe an etwas dran.
◦ Beliebig nahe meint: wenn nötig, immer noch näher als bisher.
◦ Jetzt funktionieren Berechnung und Interpretation:
◦ Man nimmt einen Punkt P und denkt sich zwei andere Punkte Q und R.
◦ Punkt P soll der Punkt sein, für den man die Steigung meint.
◦ Alle drei Punkte P, Q und R sollen auf dem Graphen einer Funktion liegen.
◦ Wenn Q und R nah genug an P liegen, dann gibt der x-Unterschied mal ...
◦ die Steigung in etwa recht gut den y-Unterschied an.
◦ Je näher Q und R an P sind, desto besser besser passt die Zahl.

Wie berechnet man die Steigung in einem Punkt? =====

◦ Am einfachsten über die => Erste Ableitung
◦ Aus Grundlagen über das => Sekantenverfahren

Berechnung am Zahlenbeispiel


◦ Wir nehmen den Graphen der Normalparabel f(x)=x².
◦ Was wäre die Steigung an den Punkt (3|9)?
◦ Über die erste Ableitung f'(x)=2x ...
◦ kriegt man die Steigung 6 heraus.

Bedeutung am Zahlenbeispiel


◦ Was bedeutet "Steigung 6 im Punkt (3|9)" bei der Normalparabel?
◦ Das meint: wenn man sehr kleine Steigungsdreicke dort zeichnet,
◦ dann ist Delty y immer ziemlich genau das 6fache von Delta x.
◦ Je kleiner das Steigungsdreieck ist und je näher an (3|9), ...
◦ desto besser passt die Zahl 6.

Synonyme


=> Steigung in einem Punkt
=> Tangentensteigung
=> Sekantenverfahren
=> Erste Ableitung

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