Sphärisches Dreieck
Anschaulich
Definition
Ein Dreieck auf eine Kugeloberfläche gezeichnet: wählt man drei verschiedene Punkte auf einer Kugeloberfläche aus, dann kann man diese durch möglichst kurze Linien auf der Kugeloberfläche verbinden. Das so entstandene Dreieck nennt man ein sphärisches Dreieck oder auch Kugeldreieck. Das dazugehörige Gebiet der Mathematik ist die sphärische Geometrie. Das ist hier kurz vorgestellt.
Ein sphärisches Dreieck selbst herstellen
Um ein sphärisches Dreieck, also ein Dreieck auf einer Kugeloberfläche, anschaulich begreifen zu können, benötigt man lediglich eine Kugel und eventuell dünne Fäden und Kleber. Als große Kugel kann man zum Beispiel einen Spielball (Fussball, aufblasbare Kugel) oder auch einen Globus nehmen. Mit Hilfe von dünnen Fäden und Klebestreifen kann man dann Faden-Dreiecke auf die Kugeloberfläche aufkleben.
Sphärische Dreiecke auf einem Globus
Auf einem normalen Globus sind meistens auch Längen- und Breitengrade eingezeichnet. Die Längengrade gehen vom Nordpol oben bis zum Südpol unten. Alle Längengrade treffen sich also gemeinsam im Nordpol und auch im Südpol. Die Breitengrade gehen sozusgagen von links nach rechts über den Globus. Der bekannteste Breitengrad ist der Äquator. Unter und über dem Äquator sind meistens noch weitere Breitengrade einzeichnet. Durch Europa zum Beispiel geht der 50ste Grad nördlicher Breite. Betrachtet man einen solchen Breitengrad, etwa irgendeinen der durch Europa geht, dann kann man zu diesem Breitengrad auch zwei Längengrade finden, einen links und einen rechts. Die drei Linien bilden dann gemeinsam ein sphärisches Dreieck.
Innenwinkelsumme auf einem Globus
In der Geometrie gibt es den sogenannten Satz von der Innenwinkelsumme von Dreiecken: die Summe der drei Innenwinkel in einem Dreieck ergibt immer 180°. Dieser Satz gilt für alle Dreiecke auf ebenen, flachen Flächen. Er gilt aber nicht mehr für Dreiecke auf einer Kugeloberfläche. Für sphärische Dreiecke kann die Summe der drei Innenwinkel deutlich größer werden als 180°. Um das nachzuvollziehen, nimm einen Globus und betrachte das Dreieck mit den folgenden Eckpunkten: Nordpol (A), die Insel Sao Tome (B) im Atlantik vor Westafrika und die Stadt Quito (C) im Land Ecuador im westlichen Südamerika.
Der Satz des Pythagoras auf einem Globus
Auch der Satz des Pythagoras gilt nicht mehr so in der Geometrie flacher Ebenen. Der Satz des Pythagoras in der Form a²+b²=c² gilt nur für rechtwinklige Dreiecke in einer ebenen Fläche. Das kann man mit einem einfachen Globus erkennen. Dazu kann man selbst einen verblüffenden Versuch mit einfachen Mitteln machen. Sie dazu den Artikel zum Galapagos-Dreieck ↗
Fußnoten
- [1] Sphärisches Dreieck. In: Guido Walz: Spektrum Lexikon der Mathematik. Band 5: Sed bis Zyl; 2002; ISBN: 3-8274-9437-1. Siehe auch Spektrum Lexikon der Mathematik ↗
