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Spatprodukt


Produkt aus drei Vektoren, ergibt immer Zahl


Das Spatprodukt, auch gemischtes Produkt genannt, ist das Skalarprodukt aus dem Kreuzprodukt zweier Vektoren und einem dritten Vektor. Es ergibt das orientierte Volumen des durch die drei Vektoren aufgespannten Spats (Parallelepipeds). Sein Betrag ist somit gleich dem Volumen des aufgespannten Spats. Das Vorzeichen ist positiv, falls diese drei Vektoren in der angegebenen Reihenfolge ein Rechtssystem bilden; bilden sie ein Linkssystem, so ist es negativ. Liegen die drei Vektoren in einer Ebene, so ist ihr Spatprodukt Null.

Gegeben


◦ Man betrachte drei Vektoren:
◦ a = (10|0|0)
◦ b = (0|4|0)
◦ c = (0|0|8)
◦ Die Vektoren spannen einen Quader auf.
◦ Er hat ein Volumen von 320 Volumeneinheiten.

Lösungsidee


◦ Spatprodukt = (axb)·c
◦ axb ist das => Kreuzprodukt
◦ Das Ergebnis des Kreuzproduktes ist ein Vektor.
◦ Dieser Vektor wird skalar mit c multipliziert => Skalarprodukt
◦ Das Ergebnis ist das Spatprodukt, es muss das Volumen von 320 VE ergeben.
◦ Das heißt: Der Betrag des Spatroduktes muss 320 ergeben.

Rechnung


◦ axb (Kreuzprodukt) berechnen:
◦ axb = (0|0|40)
◦ (0|0|40)·(0|0|8)=320
◦ Das korrekte Spatprodukt ist also: -320

Das Spatprodukt ...


◦ ergibt immer eine Zahl
◦ ist nicht kommutativ
◦ gibt das Volumen von einem Spat

Siehe auch


=> Vektorrechnung [Hauptseite]
=> Kreuzprodukt
=> Rechtssystem
=> Spat
=> eng





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