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Skalarprodukt anschaulich


Vektorrechnung


Basiswissen


Das Skalarprodukt zweier Vektoren hat eine anschauliche Bedeutung: das Produkt aus der Länge des einen Vektors mit der auf ihn projizierten Länge des anderen Vektors. Das ist hier kurz erklärt.

Kurzversion


Man man sich die beiden Vektoren mit ihren Anfangspunkten - also dem Pfeilende ohne Pfeilspitze - verbunden vor. Man stelle sich die Glasscheibe eines Fensters vor. Dort klebt man die beiden Vektoren gedanklich auf. Dabei muss einer der beiden Vektoren - es ist egal welcher - waagrecht verlaufen, also von links nach rechts. Diesen waagrechen (horizontalen) Vektoren nennen wir hier b. Der andere Vektor soll dann nach oben gehen. Er heißt hier a. Nun lässt man gedanklich von oben nach unten Regen in Tropfen fallen. Die Tropfen fallen senkrecht von oben nach unten. Der obere Vektor a wirkt dabei als Dach: unter ihm bleibt es trocken. Die trockene Länge ist die Projektion des Vektors a auf b. Die Länge dieser Projektion multipliziert man mit der Länge des Vektors b. Das Ergebnis ist eine Zahl und heißt Skalarprodukt.

Erklärskizze


Zeichne ein x-y-Koordinatensystem. Beide Achsen sollen von 0 bis 10 gehen. Zeichne jetzt vom Ursprung ausgehend den Vektor (8|0). Dieser Vektor liegt auf der x-Achse. Zeichne dann den Vektor (4|3). Dieser Vektor geht vom Ursprung aus leicht nach rechts oben. Die Projektion des kleine Vektors auf den Großen kann man sich so vorstellen: Lasse gedanklich von oben senkrechte und parallele Sonnenstrahlen auf den längeren Vektor scheinen. Der kleinere Vektor wird dann einen Schatten auf den längeren Vektor werfen. Dieser Schatten wäre die Projektion. Die Schattenlänge wäre 4. Die Länge des langen Vektors (also 8) mal der Länge der Projektion des anderen Vektors (also 4) ergibt das Skalarprodukt, also 32. Das gleiche Ergebnis käme durch die Summe der Komponentenprodukte heraus: 8·4 + 0·3 = 32.

Wo wird das Skalarprodukt verwendet?


Diese anschauliche Version spielt vor allem in der Physik eine große Rolle. Bei vielen physikalischen Formeln spielen nur projizierte Anteile, zum Beispiel von Kräften eine Rolle. Ein Beispiel ist die Berechnung der mechanischen Arbeit nach der Formel W=F·d. Ebenso kann man mit Hilfe dieser Anschauung auch die Normalenform der Ebenengleichung in der Vektorrechnung direkt bildlich interpretieren. Siehe das als Beispiele unter Normalenform der Ebene ↗