WH54 Fachwortlexikon
Lernwerkstatt Aachen GbR
Mathematik | Physik | Chemie


Bildbeschreibung und Urheberrecht

Scheitelpunktform in Faktorisierte Form


Schritt-für-Schritt


Basiswissen


Man hat die Scheitelpunktform f(x) = a·(x-d)²+e einer quadratischen Funktion gegeben. Diese soll ummgewandelt werden in die faktorisierte Form f(x) = a·(x-b)·(x-c)

Gegeben? Gesucht?


◦ SPF gegeben: f(x) = a(x-d)² + e
◦ FF gesucht: f(x) = a·(x-b)(x-c)

Achtung mit dem a


◦ Achtung: das a aus der SPF ist nicht automatisch auch das a aus der FF.
◦ Die beiden a-Werte können unterschiedlich sein.

Was ist der Lösungsweg?


◦ Es gibt unterschiedliche Lösungswege.
◦ Ein Lösungsweg, der immer funktioniert, ist hier nur grob skizziert.
◦ Die Idee ist: erst die Nullstellen bestimmen, und ...
◦ dann damit die faktorisierte Form aufstellen.

Lösungsbeispiel


◦ f(x) = 2·(x-2)² - 50

1. Schritt


◦ Man löst zuerst die Klammer auf.
◦ Dazu nimmt man die zweite binomische Formel:
◦ (x-2)² mit der zweiten binomischen Formel: x²-4x+4
◦ Die aufgelöste Klammer schreibt man in eine große eckige Klammer:
◦ f(x) = 2·[x²-4x+4] - 50
◦ Jetzt multipliziert man die eckige Klammer aus:
◦ f(x) = 2x² - 8x + 8 - 50
◦ Am Ende fasst man zusammen:
◦ f(x) = 2x² - 8x - 42

2. Schritt


◦ Leitkoeffizient ausklammern:
◦ Die Zahl vor dem x² heißt => Leitkoeffizient
◦ Steht dort eine andere Zahl als 1, klammert man diese erst aus:
◦ Man schreibt zunächst die Zahl vor eine große eckige Klammer:
◦ f(x) = 2[ ... ]
◦ Dann teilt man die rechte Seite der Funktionsgleichung durch diese Zahl.
◦ Das Ergebnis schreibt man in die eckige Klammer:
◦ f(x) = 2·[x² - 4x - 21]

3. Schritt


◦ pq-Formel:
◦ Jezt betrachte man nur den Teil in der eckigen Klammer.
◦ Dafür sucht man die Nulltellen.
◦ Siehe => Nullstellen über pq-Formel
◦ Man erhält die zwei Nullstellen:
◦ x = -3 und x = 7

4. Schritt


◦ Nullstellen in Bauplan einsetzen:
◦ Der Bauplan für die FF war: f(x) = a·(x-b)·(x-c)
◦ Das kleine a ist der in Schritt 2 ausgeklammerte Leitkoeffizient:
◦ Als Zwischenergebnis hat man: f(x) = 2·(x-b)·(x-c)
◦ Dann setzt man die Nullstellen für b und c ein.
◦ Dabei werden die Vorzeichen mit eingesetzt.
◦ Man setzt ein: f(x) = 2·(x-(-3))·(x-(7))
◦ Minus mal minus gibt plus, also:
◦ f(x) = 2·(x+3)·(x-7)

5. Schritt


◦ Am Ende macht man eine Probe.
◦ Man multipliziert die zwei Klammern der faktorisierten Form aus:
◦ Das geschieht nach dem Rechengesetzt für => (a+b)(c+d)
◦ f(x) = 2·(x+3)·(x-7) wird zu:
◦ f(x) = 2[x² - 7x + 3x + 21]
◦ f(x) = 2x² - 8x + 42 ✔

Siehe auch


=> Faktorisierte Form in Scheitelpunktform [umgekehrt]
=> Scheitelpunktform in Allgemeine Form
=> Quadratische Funktion [Übersicht]
=> ABC-Formel






© Sabine & Gunter Heim, 2020