WH54 Fachwortlexikon
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Scheitelpunktform aus drei Punkten


f(x) oder y = a(x-d)² + e aus drei Punkten erstellen


Basiswissen


Durch drei gegebene Punkte kann man oft (nicht immer) eine Parabel legen. Zu dieser Parabel kann man dann eine Funktionsgleichung anlegen. Wenn einer der drei Punkte bekanntermaßen der Scheitelpunkt der Parabel ist, dann lässt sich die Funktionsgleichung leicht über die Scheitelpunktform aufstellen. Dabei kann man zwei leicht unterschiedliche Methoden unterscheiden:

1. Scheitelpunkt explizit gegeben


In diesem Fall wählt man als Ausgangsgleichung die Scheitelpunktform. Man setzt x und y vom Scheitelpunkt für d und e ein und erhält Gleichung I. Dann setzt man x und y von einem der anderen Punkte für x und y in die Gleichung II ein. Jetzt kann man nach a auflösen. Am Ende schreibt man die Scheitelpunktform mit a, d und e hin. Den dritten Punkt braucht man nicht. Hier ein Rechenbeispiel:

◦ Scheitelpunkt bei: (8|12)
◦ Ein weiterer Punkt: (10|20)
◦ Allgemeine Scheitelpunktform: y = a·(x-d)² + e
◦ d und e sind die Koordinaten des Scheitlpunktes.
◦ Scheitelpunkt einsetzen gibt I: y = a·(x-8)² + 12
◦ Zweiten Punkt einsetzen gibt II: 20 = a·(10-8)² + 12
◦ Römisch II jetzt nach a auflösen gibt: a = 2
◦ a, d und e sind jetzt bekannt.
◦ Gleichung mit x und y aufstellen:
◦ y = 2·(x-8)²+12

2. Scheitelpunkt gegeben, aber nicht direkt erkennbar


Oft sind drei Punkte gegeben, ohne dass aber gesagt wird, dass einer der Punkte der Scheitelpunkt ist. Man sagt, der Scheitelpunkt ist implizit gegeben. Das muss man selbst anhand der Koordinaten erkennen. Beispiel: P(100|120), Q(80|110) und R(120|110). Hier ist P der Scheitelpunkt. Das erkennt man daran, dass der x-Wert genau in der Mitte der beiden anderen x-Werte, also der Randpunkte, liegt und die y-Werte der beiden Randpunkte gleich sind. Man kann jetzt verfahren wie unter Methode 1.

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