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Satz von Moivre-Laplace

Lange Bernoulliketten passen gut zur Normalverteilung

Satz

Der Satz von Moivre-Laplace ist ein Satz aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Nach diesem Satz konvergiert die Binomialverteilung für n gegen unendlich und für Wahrscheinlichkeiten 0 < p < 1 gegen die Normalverteilung. Die dazugehörige mathematische Funktion heißt Gauß-Funktion.

Deutung

Binomialverteilung meint hier die Wahrscheinlichkeiten für Bernoulli-Ketten. Eine Bernoulli-Kette ist eine Kette aus einer Anzahl n gleichartiger Bernoulli-Exerpimente (nur zwei Ausgänge). Wenn man beispielweise 20 mal würfelt und man unterscheidet nur die Ausgänge "Es kam eine 6" und "es kam keine 6", dann hat man eine Bernoulli-Kette der Länge n=20. Trägt man die Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Anzahlen von 6ern (also von 0 bis 20) als Säulendiagramm auf, dann entsteht daraus eine Art Kurve. Der Satz von Moivre-Laplace sagt nun, dass die Form dieses Säulendiagramm der Graph einer Normalverteilung (Gaußsche Glockenkurve) umso ähnlicher wird, je größer das n der Bernoulli-Kette ist.

Nutzen

Bei großem Stichprobenumfang kann also die Normalverteilung als Näherung der Binomialverteilung verwendet werden. Die Binomialverteilung stellt die Verteilung der Ergebnisse von Bernoulliketten dar. Der Vorteil liegt darin, dass die Normalverteilung (Gauß-Funktion) rechnerisch einfacher zu handhaben ist, also die Formeln für eine Binomialverteilung. Es gelten dann auch automatisch einige Eigenschaften der Normalverteilung auch für die Binomialverteilung:

Graph

◦ Arithmetisches Mittel = Median = Modalwert
◦ 50% der Daten sind kleiner als der Median.
◦ 50% der Daten sind größer als der Median.
◦ Ein Histogramm zu den Daten ist symmetrisch.

Sigmaregeln

◦ Im Intervall der Abweichung ein Sigma vom Mittelwert sind 68,27 % aller Werte zu finden,
◦ Im Intervall der Abweichung zwei Sigma vom Mittelwert sind 95,45 % aller Werte zu finden,
◦ Im Intervall der Abweichung drei Sigma vom Mittelwert sind 99,73 % aller Werte zu finden.
◦ 50 % aller Werte haben eine Abweichung von höchstens 0,675 Sigma vom Mittelwert,
◦ 90 % aller Werte haben eine Abweichung von höchstens 1,645 Sigma vom Mittelwert,
◦ 95 % aller Werte haben eine Abweichung von höchstens 1,960 Sigma vom Mittelwert,
◦ 99 % aller Werte haben eine Abweichung von höchstens 2,576 Sigma vom Mittelwert.

Siehe auch

=> Binomialverteilung
=> Normalverteilung
=> Bernoullikette