WH54 Fachwortlexikon
Lernwerkstatt Aachen GbR
Mathematik | Physik | Chemie


Bildbeschreibung und Urheberrecht

Raketenformel über Integralrechnung


Herleitung der Formel mit Integration


Basiswissen


In der Mathematik, Physik oder Chemie: kurze Erklärung von Fachworten, Symbolen und Formeln

Gegenstand


◦ Eine einstufige Rakte
◦ Der leere Weltraum ohne Reibung
◦ Auf die Rakete wirken keine äußeren Kräfte.
◦ Nur nichtrelativistische Geschwindigkeiten

ve = vg mal ln (mo/mr)


ve = Brennschlussgeschwindigkeit der Rakete
vg = Austrittsgeschwindigkeit der Verbrennungsgase
ln = natürlicher Logarithmus (Basis e)
mo = Masse der Rakete (mit Treibstoff) beim Start
mr = Masse der Rakete nach Verbrennung des Treibstoffs

Vorbereitung


m sei die momentane Masse der Rakete zu einem beliebigen Zeitpunkt während des Abbrennvorganges. m ist die Summe aus Treibstoffmasse und allen anderen Bauteilen der Rakete. Ein sehr kleiner Teil delta-m, kurz dm, dieser Masse wird mit der Ausströmgeschwindigkeit vg des Verbrennungsgases abgestoßen. Der Impulsgewinn von dm ist das Produkt aus dm und vg. Nach dem Gesetz der Impulserhaltung muss dieser Impulsgewinn für die gesamte Restrakete gleich groß sein. Der Impulsgewinn der Restrakete wäre (m minus delta-m)*vr. Das vr bezeichnet den Geschwindigkeitsgewinn der Restrakete. Man kann jetzt beide Terme gleichsetzen:

Impulsgewinn ausgestoßenes Gas = Impulsgewinn Restrakete
dm * vg = (m - dm) * vr

Diese Gleichung wird gleich nach vr umgestellt. vr ist der Geschwindigkeitszuwachs der Restrakete wenn eine Gasmasse dm ausgestoßen wird. Die Umstellung in der jetzigen Gleichungsform wäre allerdings sehr schwierig (bis unmöglich). Man darf aber auf der rechten Seite die Differenz (m minus dm) gleich m setzen. Die ausgestoßene Masse dm ist gegenüber der Restmasse m der Restrakete vernachlässigbar klein. Lässt man beim gleich beim Integrieren dm gedanklich gegen Null laufen, dann geht auch der so gemachte Fehler gedanklich gegen Null. Man darf ihn also ohne schädliche Folgen machen. Die so vereinfachte Gleichung lautet:

dm * vg = m * vr
Umstellen nach vr:
vr = dm * vg/m

Integration


Die rechte Seite ist ein Term für den Geschwindgeitszuwachs vr der Restrakete bei Ausstoß eines infinitesimal kleinen Masseteilchen dm. Integration über dm gibt den gesamten Geschwindigkeitszuwachs ve über die Masse:

ve = vg*ln(m) in den Grenzen der Anfangs- und Endmasse der Gesamtrakete

Bei der Integrations wurde das Stammintegral von 1/x genutzt, welches ln(x) ist. Setzt man die Anfangsmasse gleich mo und die Endmasse gleich mr so ergibt sich nach Einsetzen dieser Integrationsgrenzen:

ve = vg * ln(mr) - vg * ln(mo)
Über die Logarithmengesetze
ve = vg * ln(mr/mo)

Die letzte Gleichung ist die übliche Form der Raketengleichung mit:

ve = Endgeschwindigkeit der Rakete nach Brennschluss
vg = Austrittsgeschwindigkeit der Verbrennungsgase
ln = natürlicher Logarithmus
mr = Restmasse der Rakete nach Brennschluss
mo = Anfangsmasse der Rakete zu Brennbeginn

Siehe auch


=> Raketenformel
=> Integralrechnung [Übersicht]





© Sabine & Gunter Heim, 2020