Quadratische Gleichungen über QE

Anleitung

Basiswissen

Wozu ist das Verfahren gut?

• Man hat so etwas wie 0 = 2x²-8x+6
  

• Das ist eine quadratische Gleichung in Normfalform.
  

• Von ihr such man die Lösungen.
  

1. Schritt

• Leitfaktor entfernen:
  

• Eine Zahl vor dem x² nennt man Leitfaktor.
  

• Wenn einer vorhanden ist, muss man ihn erst entfernen
  

• Hier ist der Leitfaktor die 2, also alles durch 2 teilen.
  

• Das gibt: 0=x²-4x+3
  

2. Schritt

• Leerklammer einfügen:
  

• Als Schema hinschreiben:
  

• 0 = (x ___ )² - ___
  

3. Schritt

• Klammerleerstelle ausfüllen:
  

• Nimm die Gleichung am Ende von Schritt 2.
  

• Nimm die Zahl vor dem x.
  

• Das ist hier sie -4.
  

• Halbiere sie, das gibt -2.
  

• Schreibe das in die Leerstelle von der Klammer.
  

• Gibt: 0 = (x-2)² - ___
  

4. Schritt

• Endleerstelle ausfüllen:
  

• Nimm die Gleichung am Ende von Schritt 2.
  

• Nimm die Zahl vor dem x, das wäre wieder die -4.
  

• Halbiere sie, das gibt -2, dann quadriere das Ergebnis.
  

• Also -2 mal -2, das gibt 4.
  

• Ziehe das ab von der Zahl ohne x am Ende von Schritt 2.
  

• Zahl am Ende von Schritt 2 ist die 3, also 3-4, gibt -1.
  

• Das kommt in die Leerstelle am Ende.
  

• Zwischenergebnis: 0=(x-2)²-1
  

5. Schritt

• Nach x auflösen:
  

• 0=(x-2)²-1 | +1
  

• 1=(x-2)² | +- Wurzel
  

• +-Wurzel(1) = x-2 | +2
  

• +-Wurzel(1)+2 = x
  

6. Schritt

• Zwei Ergebnisse berechnen:
  

• Das +- meint: man soll einmal mit + und einmal mit - rechnen.
  

• Das gibt dann zwei Ergebniss für x, also x1 und x2:
  

• x1=+Wurzel(1)+2, also x1=+1+2 oder x1=3.
  

• x2=-Wurzel(1)+2, also x2=-1+2 oder x2=1.
  

7. Schritt

• Antwort hinschreiben:
  

• Lösungen sind:
  

• x1=3
  

• x2=1
  

Gibt es Alternativen?

Aufgaben dazu