Bildbeschreibung und Urheberrecht

Parameterform der Geraden anschaulich


Anleitung zur 3D-Vorstellung | Aufgaben unter => qck


Inhalt


◦ Im Folgenden kommen Übungen zum 3D-Denken mit 3D-Geraden.
◦ Ziel ist es, aus einer Gleichung schnell ein 3D-Bild zu erhalten.
◦ Es geht weniger um die mathematische Formulierung.
◦ Diese steht unter => Parameterform der Geraden

Ursprung


◦ Man stelle sich ein 3D-Koordinatensystem vor.
◦ Es gibt verschiedene räumliche Möglichkeiten dazu.
◦ Auch die Benennung der Achsen wird unterschiedlich gehandhabt.
◦ Am besten wählt man eine feste Art und behält diese zunächst bei.
◦ Man strecke gedanklich den linken Arm gerade nach vorne aus.
◦ Man strecke den Zeigefinger dabei in Verlängerung des Armes aus.
◦ Die Spitze des Zeigefingers liegt dann etwas unterhalb der Augenhöhe.
◦ Die Spitze des Zeigefingers liegt dann etwas nach links versetzt.
◦ Dieser Punkt soll der Koordinatenursprung (0|0|0) sein.

x-Achse


◦ Die Achse führt vom Ursprung auf das linke Auge zu.
◦ Die x-Werte werden von der Fingerspitze zum Auge hin größer.
◦ Als Skalierung stellt man sich die 1 als einen Zentimeter vor.
◦ Der x-Wert 30 wäre dann rund 30 cm vom Ursprung in Richtung des Auges.
◦ Die Achse führt in gerader Verlängerung auch nach hinten weg.
◦ Dabei gehen vom Ursprung aus gesehen die x-Wert ins Negative.
◦ Der x-Wert -5 wäre dann etwa 5 cm jenseits des Ursprungs (weg vom Betrachter).

y-Achse


◦ Die y-Achse geht von links nach rechts durch den Ursprung.
◦ Die x-Werte werden von links nach rechts größer.
◦ Links vom Ursprung liegen die negativen y-Werte.
◦ Rechts vom Ursprung liegen die positiven y-Werte.
◦ Eine 1 soll wie bei der x-Achse einem Zentimeter entsprechen.
◦ Der y-Wert 40 wäre also 40 cm rechts vom Ursprung.
◦ Der y-Wert -2 wären 2 cm links vom Ursprung.

z-Achse


◦ Die z-Achse geht von unten nach oben durch den Ursprung.
◦ Die z-Werte werden von unten nach oben größer.
◦ Unterhalb des Ursprungs liegen die negativen Werten.
◦ Oberhalb des Ursprungs liegen die positiven Werte.
◦ Eine 1 soll wie bei der x- und y-Achse einem Zentimeter entsprechen.
◦ Ein z-Wert von 10 wäre dann 10 cm oberhalb des Ursprungs.
◦ Ein z-Wert von -9 wäre dann 9 cm unterhalb des Ursprungs.

Stützpunkt


◦ Nun beginnt die Visualisierung der 3D-Geradengleichung.
◦ Der erste Teil der 3D-Geradengleichung ist der Stützvektor.
◦ Gehe am Anfang gedanklich immer in den Koordinatenursprung.
◦ Angenommen der Stützvektor sei gegeben als:(10|20|30)
◦ Dann legt man das hintere Ende des Vektors auf (0|0|0).
◦ Die Spitze des Vektors liegt dann im Punkt (10|20|30).
◦ So führt der Stützvektor immer zum sogenanten Stützpunkt.
◦ Diesen stellt man sich im 3D-Koordinatensystem dann mit seiner Lage vor.
◦ (10|20|30) liegt von Betrachter aus gesehen wie folgt:
◦ 10 cm vom Ursprung auf das linke Auge des Betrachters.
◦ 20 cm nach rechts verschoben und 30 cm nach oben.
◦ Man stelle sich diesen Stützpunkt bildlich vor.

Richtungsvektor


◦ Als nächstes ist in der Geradengleichung immer ein Richtungsvektor gegeben.
◦ Man stelle sich diesen als Pfeil mit hinterem Ende und vorderer Spitze vor.
◦ Das hintere Ende legt man gedanklich genau in den Stützpunkt.
◦ Angenommen man hätte jetzt den Richtungsvektor (0|2|0).
◦ Das ist visualisiert ein Pfeil, der 2 cm von links nach rechts geht.
◦ Gehe gedanklich in den Stützpunkt und von dort aus den Pfeil weiter.
◦ Man geht vom Stützpunkt (10|20|30) also 2 Schritte:
◦ 0 Schritte (also gar nicht) in x-Richtung.
◦ 2 Schritte (also 2 cm) in y-Richtung, also nach rechts.
◦ 0 Schritte (also gar nicht) in z-Richtung.
◦ Man ist dann am Punkt (10|22|30).

Zwischenstand


◦ Bisher wurde vom Ursprung aus gesehen ein Stützpunkt gelegt.
◦ Von diesem Stützpunkt aus führte der Richtungsvektor zu einem weiteren Punkt.
◦ Durch zwei Punkte ist eindeutig bereits eine Gerade festgelegt:
◦ Es gibt nur eine möglich Gerade durch genau diese zwei Punkte.
◦ Damit hat man bereits die Gerade im 3D-Raum eindeutig festgelegt.

Parameter


◦ Stützpunkt und Stützvektor definieren also eindeutig eine 3D-Gerade.
◦ Man kann mit ihnen aber darüberhinaus auch beliebige Punkte auf der Geraden ansteuern.
◦ Man geht dazu gedanklich vom Ursprung aus wieder auf den Stützpunkt.
◦ Dann geht man vom Stützpunkt aus ein beliebiges Vielfaches des Richtungsvektors.
◦ Beispiel: Man geht auf den Stützpunkt (10|20|30).
◦ Der Richtungsvektor sei wieder (0|2|0).
◦ Man gehe vom Stütztpunkt aus 3 mal den Richtungsvektor.
◦ Man geht also 3 mal 2 cm weiter nach rechts.
◦ Man kommt damit zum Punkt (10|26|30).
◦ Wie oft man den Richtungsvektor vom Stützpunkt aus geht nennt man kurz r.
◦ r ist der Parameter der Geradengleichung, daher der Name.
◦ Ist r eine negative Zahl, geht man den Richtungsvektor in seine entgegengesetzte Richtung.
◦ Beispiel: Sützpunkt bei (10|20|30) und r sei -10.
◦ Dann geht man von (10|20|30) genau 10 mal den Vektor (0|2|0) nach links.
◦ Man kommt dann zum Punkt (10|-10|30).

Fazit


◦ Es wurde gezeigt, wie man Stützpunkt, Richtungsvektor und Parameter visualisieren kann.
◦ Durch die Veränderung des Parameterwertes r kann man beliebige Punkt der Geraden ansteuern.
◦ Mit dieser Denkweise lassen sich viele Fragestellungen schnell bearbeiten.
◦ Übungsaufgaben dazu stehen auf => qck

Siehe auch


=> Parameterform der Geraden
=> 3D-Koordinatensystem
=> Vektorrechnung
=> qck






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