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Parabelgleichung aus drei Punkten


Übersicht über Lösungsverfahren


Was meint Parabelgleichung?


◦ Parabel meint hier den Graph einer quadratischen Funktion.
◦ Parabelgleichung meint dann die Funktionsgleichung:
◦ Scheitelpunktform: f(x)=a(x-d)²+e
◦ Allgemeine Form: f(x)=ax²+bx+c

Was wird hier erklärt?


◦ Wenn man drei Punkte einer Parabel kennt, dann
◦ kann man daraus die Parabelgleichung aufstellen.
◦ Je nachdem, was man über die Punkte weiß, wählt ...
◦ man ein passendes Verfahren.

0. Punkte prüfen


◦ Man hat drei Punkte in einem Koordinatensystem gegeben.
◦ Nicht immer gibt es eine Parabel, die durch diese Punkte geht.
◦ Ein Kriterium kann man schnell vor dem Rechnen (unten) prüfen:
◦ Es darf keine zwei oder mehr Punkt mit gleichem x-Wert geben.
◦ Dann wären die Punkte nämlich senkrecht übereinander.
◦ Das darf bei einer Parabel einer Funktion nicht sein.
◦ Man schreibt dann: Keine Parabelgleichung möglich.

1. Scheitelpunkt SP bekannt


◦ Siehe auch unter => Scheitelpunktform aus drei Punkten
◦ Man hat drei Punkte gegeben.
◦ Von einem Punkt weiß man, dass er der SP ist.
◦ Beispiel: SP(2|9) S(4|1) Q(7|19)
◦ Man benutzt dann die Scheitelpunktform:
◦ Schreibe die SPF hin: f(x)=a(x-d)²+e
◦ Der x-Wert von SP ist immer d.
◦ Der y-Wert von SP ist immer e.
◦ Einsetzen: f(x)=a(x-4)²+1
◦ a ist noch unbekannt.
◦ Einen der beiden anderen Punkte einsetzen.
◦ Es ist egal welchen man nimmt:
◦ Der y-Wert gibt das f(x).
◦ Der x-Wert gibt das x.
◦ P einsetzen gibt also:
◦ 9=a(2-4)²+1
◦ Nach a auflösen:
◦ a=2
◦ Fertige Gleichung mit f(x) und x hinschreiben:
◦ f(x)=2(x-4)²+1

2. Scheitelpunkt implizit


Implizit heißt indirekt, nicht sofort sichtbar. Oft sind drei Punkte gegeben, ohne dass aber gesagt wird, dass einer der Punkte der Scheitelpunkt ist. Das muss man selbst anhand der Koordinaten erkennen. Beispiel: P(100|120), Q(80|110) und R(120|110). Hier ist P der Scheitelpunkt. Das erkennt man daran, dass der x-Wert genau in der Mitte der beiden anderen x-Werte, also der Randpunkte, liegt und die y-Werte der beiden Randpunkte gleich sind. Man kann jetzt Methode 1 von oben benutzen.

3. Kein Scheitelpunkt erkennbar


◦ Beispiel: P(1|4) Q(2|7) R(5|28)
◦ Jeden Punkt einsetzen in: f(x) = ax² + bx + c
◦ 4 = a·1² + b·1 + c
◦ 7 = a·2² + b·2 + c
◦ 28 = a·5² + b·5 + c
◦ Sortieren gibt:
◦ 4 = 1a + 1b + c
◦ 7 = 4a + 2b + c
◦ 28 = 25a + 5b + c
◦ Das ist ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Unbekannten.
◦ Wenn man es löst, hat man die Werte für a, b und c.
◦ Wie man LGs löst steht unter => LGS mit drei Gleichungen lösen
◦ Im Beispiel ist die Lösung: a=1 b=0 und c=3
◦ Das in die Allgemeine Form einsetzen: f(x)=1x²+0x+3
◦ Vereinfachen gibt: f(x)=x²+3
◦ Siehe auch => Allgemeine Form aus drei Punkten

Siehe auch


=> Kettenlinienversuch [Praxisbeispiel]
=> Scheitelpunktform in Allgemeine Form
=> Scheitelpunktform aus drei Punkten
=> Allgemeine Form aus drei Punkten
=> Parabel aus Wurfrutschenversuch
=> LGS mit drei Gleichungen lösen
=> Parabel [Übersicht]
=> Gauß-Algorithmus
=> qck





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