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Nullstellen von kubischen Funktionen bestimmen


Z. B. f(x) = x·(x²-4)


Basiswissen


Nullstellen sind die x-Werte bei denen der y-Wert zu 0 wird. Bei der Funktion f(x)=x·(x²-4) wären das die x-Werte 0, -2 und 2. Es werden Verfahren für x-hoch-3 Funktionen (kubisch) vorgestellt.

Was meint kubisch?


◦ f(x) = ax³ + bx² + cx + d
◦ Jede Funktion, die man in die obige Form umformen kann, heißt kubisch.
◦ Kubische Funktionen heißen gauch ganzrationale Funktionen dritten Grades.
◦ Beispiele: f(x) = x³-9x²+26x-24 oder f(x) = 4x³+4x²
◦ Mehr unter => Kubische Funktion

Wie viele NS gibt es?


◦ Eine kubische Funktion hat mindestens eine Nullstelle.
◦ Sie hat höchstens drei Nullstellen.
◦ Sie kann auch genau zwei haben.

Was sind die Verfahren?


◦ Es gibt viele verschiedene Verfahren.
◦ Bei allen Verfahren setzt man f(x) erst einmal gleich 0.
◦ Ab hier ist die Vorgehensweise wie beim Lösen einer kubischen Gleichung.

Probieren


Funktionsterm sehr einfach: Für x einfache Zahlen wie 0, 1, 2 einsetzen. Wenn f(x) Null wird, hat man eine Nullstelle gefunden. Mehr unter => kubische Gleichungen über Probieren

Kontrollierte Probieren


Man bestimmt zunächst alle ganzzahligen Teiler des absoluten Gliedes (Zahl ohne x im Funktionsterm) sowie die Gegenzahlen (umgedrehtes Vorzeichen) dieser Teiler. Wenn es Nullstellen gibt, dann können es nur solche Zahlen sein. Mehr dazu unter => Kubische Gleichungen über Satz über rationale Nullstellen

Faktorisieren


Funktionsterm hat nur Glieder mit x: Ein x aus dem Funktionsterm ausklammern. Wenn das geht, hat man eine Nullstelle bei x=0. Der restliche Klammerterm ist dann eine quadratische Gleichung. Sie kann man mit der normalen pq-Formeln lösen. Mehr unter => Kubische Gleichungen über Faktorisieren

Ablesen


Die Funktionsgleichung liegt schon in faktorisierter Form als eine Malkette vor. Dann gilt der Satz vom Nullprodukt und man kann die NS direkt ablesen, mehr unter => Nullstellen von kubischen Funktionen über Ablesen

Polynomdivision


Funktionsterm schwierig, eine Lösung schon bekannt: Kann man kein x ausklammern und hat man eine Lösung der Gleichung irgendwoher anders, dann teilt man per Polynomdivision den Funktionsterm durch den Klammerterm (x-Lösung). Geht die Polynomdivision glatt auf, dann ist das Ergebnis eine quadratische Gleichung, die man wieder mit der pq-Formeln lösen kann.

Horner-Schema

Ist ähnlich wie die Polynomdivision. Auch hier muss man wieder eine erste Nullstelle kennen, um überhaupt anfangen zu können. Das Verfahren ist hier nicht erklärt.

Sonstiges


Zwei andere Lösungswege sind die Cardanische Formel sowie das Newton-Verfahren. Dieses ist recht zeitaufwändig zu rechnen, jene recht schwer zu verstehen. Beide Wege kommen normalerweise, wenn überhaupt, erst in einem Studium vor.

Siehe auch


=> Nullstellen von kubischen Funktionen über Probieren
=> Nullstellen von kubischen Funktionen über Faktorisieren
=> Polynomdivision => qck
=> Kubische Funktion [Erklärung]
=> Nullstellen bestimmen [Übersicht]
=> qck





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