Normalform in Scheitelpunktform
Umwandlung
Basiswissen
Man hat f(x) = x²+px+q gegeben und sucht f(x) = a(x-d)²+e. Hier ist Schritt-für-Schritt erklärt, wie man das mit Hilfe der sogenannten quadratischen Ergänzung umwandelt.
Was wird umgewandelt?
- Es geht um Funktionsgleichungen ...
- und zwar von quadratischen Funktionen:
- f(x) = x² + px + q
Was ist die Normalform?
- f(x) = x² + px +q
- Vor dem x² steht kein Faktor (keine Zahl, kein Minuszeichen)
- Beispiel: f(x)=x²-12x-32
Was ist die Scheitelpunktform?
- Eine andere Art, die quadratische Funktion zu schreiben
- Allgemein Scheitelpunktform: f(x)=a(x-d)²+e
- Allgemein Scheitelpunktform: f(x)=a(x-d)²+e
- Daraus kann man die SPF austellen.
- Scheitelpunkt bei (d|e)
Wie wandelt man um?
- Es gibt verschiedene Möglichkeiten.
- Hier wird die Methode mit der quadratischen Ergänzung erklärt.
- Die Normalform ist gegeben, zum Beispiel: f(x) = x² - 12x + 32
- Die Scheitelpunktform ist gesucht, z. B.: f(x) = (x-6)² - 4
1. Quadratische Ergänzung
- Nimm die Gleichung in Normalform.
- Im Beispiel: f(x) = x² - 12x + 32
- Der Teil nur mit x (also ohne x²) heißt lineares Glied.
- Die Zahl vom linearen Glied nehmen, hier also die -12.
- Diese Zahl halbieren, gibt -6 und dann quadrieren, gibt: 36
- Das Ergebnis direkt hinter dem linearen Glied ...
- einmal addieren und einmal subtrahieren, gibt:
- f(x) = x² - 12x + 36 - 36 + 32
2. Einklammern
- Jetzt kannst du die ersten drei Glieder weglassen.
- Die ersten drei Glieder sind hier: "x²", "-12x" und "+36".
- Sie werden ersetzt durch eine Klammer mit Quadrat:
- Du schreibst in eine neue Zeile eine Leere Klammer mit ² dahinter.
- Links in die Klammer geht immer das x.
- Dann kommt das Vorzeichen vom zweiten Glied, hier ein "Minus".
- Dann kommt die Wurzel aus dem dritten Glied, hier also 6.
- Jetzt schreibst du die restlichen Glieder dahinter:
- (x-6)² - 36 + 32
3. Zusammenfassen
- Die restlichen Glieder zusammenfassen:
- (x-6)² - 4
4. Interpretieren
- Eigentlich bist du jetzt fertig.
- Du kannst noch den Scheitelpunkt SP ablesen.
- Der x-Wert vom SP ist immer die Gegenzahl von der Zahl in der Klammer.
- Der y-Wert vom SP ist immer die Zahl nach der Klammer.
- Scheitelpunkt SP(6|-4).