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Normalform in faktorisierte Form


x²+px+q umwandeln in (x-a)·(x-b) | Schritt-für-Schritt Anleitung


Was ist gegeben?


Gegeben ist eine quadratische Gleichung 0=x²+px+q oder Funktion f(x)=x²+px+q in Normalform. Gesucht ist die faktorisierte Form: 0=(x-a)·(x-b) beziehungsweise f(x)=(x-a)·(x-b). Siehe auch => Normalform

Kann immer umgewandelt werden?


Nein. Nicht jede Gleichung oder Funktion in Normalform kann auch als faktorisierte Form geschrieben werden. Wenn zum Beispiel die Parabel einer Funktion keine Nullstellen hat, dann gibt es keine dazu passende faktorisierte Form. Nur lösbare Gleichungen haben auch eine => faktorisierte Form

Wie wandelt man um?


Die hier verwendete Lösungsidee für die Umwandlung ist die Verwendung der pq-Formel. Mit ihr bestimmt man zunächst die Lösung der Gleichung beziehungsweise die Nullstellen der Funktion. Aus diesen kann man dann direkt die faktorisierte Form erstellen. Es folgt eine Schritt-für-Schritt Anleitung:

Schritt 1


◦ NF gegeben: f(x) = x² + px + q
◦ FF gesucht: f(x) = (x-a)·(x-b)

Schritt 2


◦ Nullstellen über pq-Formel bestimmen

Schritt 3


Falls mindestens eine NS herauskommt, gehe weiter zu Schritt 3. Falls keine NS herauskommt, dann gibt es für diese Normalform keine faktorisierte Form. Man schreibt dann als Antwort: "Nicht umwandelbar". Beispiel: f(x)=x²+8x+16 ist nicht umwandelbar.

Schritt 4


Falls die pq-Formel genau zwei Lösungen liefert, gehe weiter zum Schritt 4. Falls genau eine NS herauskommt, diese Zahl sowohl für a und b in die faktorisierte Form einsetzen. Beispiel: f(x)=x²-6x+9 wird zu: f(x)=(x-3)·(x-3)

Schritt 5


Falls die pq-Formel genau zwei verschiedene Nullstellen liefert, dann setze die erste Nullstelle für a und die zweite Nullstelle für b ein. Beispiel: f(x)=x²-6x+8 wird zu: f(x)=(x-4)·(x-2)

Wozu dient die Umwandlung?


Aus der Normalform kann man direkt die Öffung der Parabel ablesen. Aus der faktorisierten Form kann man direkt die Nullstellen ablesen. Die faktorisierte Form eignet sich auch besser, wenn in komplexen Termen gekürzt werden soll. Welche Form die geeignetere ist, hängt von der konkreten Aufgabenstellung ab.

Siehe auch


=> Faktorisierte Form in Normalform [umgekehrte Umwandlung]
=> Nullstellen aus faktorisierter Form
=> Quadratische Funktion [Übersicht]
=> Faktorisierte Form
=> Parabelöffnung
=> Normalform
=> pq-Formel
=> qck





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