Momentane Änderungsrate
Mathematik
Definition
Ein Flugzeug ist im Steigflug. Wenn es in jeder Sekunde einen Meter mehr an Höhe gewinnt, dann ist ein Meter pro Sekunde die momentane Änderungsrate der Höhe des Flugzeuges. Hier wird erklärt, was die momentane Änderungsrate bedeutet und wie man sie berechnet.
Ein Flugzeug im Steigflug als Beispiel
Im Cockpit eines Flugzeuges gibt es immer ein sogenanntes Variometer. Dieses Gerät zeigt an, wie schnell sich im jeweiligen Moment die Höhe des Flugzeuges verändert. Wenn das Gerät zum Beispiel 1 m/s anzeigt heißt das, dass das Flugzeug im Moment in jeder Sekunde einen Meter an Höhe dazugewinnt. Die Änderung der Höhe ist die momentane Änderungsrate. Siehe auch Variometer ↗
Ein fahrender Zug als Beispiel
Wenn das Tachometer in einem Zug eine Geschwindigkeit von 120 km/h anzeigt, dann hat der Zug diese Geschwindigkeit als momentane Änderungsrate seines Ortes oder seiner gefahrenen Strecke. Siehe mehr dazu im Artikel zur Geschwindigkeit als momentane Änderungsrate ↗
Was genau ist eine Rate?
Eine Rate ist in der Mathematik oder Physik immer eine Änderung in einer bestimmten Zeit. Man erkennt sie sprachlich an Wendungen wie pro Jahr, pro Sekunde, in einer Minute oder in jeder Sekunde. Für Beispiele siehe auch die Übersicht zu Raten ↗
Was genau heißt momentan?
Momentan heißt, das etwas zu einem Moment gehört, zu einem Zeitpunkt und nicht etwa zu einer Zeitdauer. Das Wort momentan wirft dabei die Frage auf, ob es so etwas wie einen Zeitpunkt ohne Zeitdauer überhaupt geben kann. Kann eine Sache eine Geschwindigkeit in einem Zeitpunkt haben, wenn dieser Zeitpunkt selbst keine Dauer hat? Siehe dazu auch momentan ↗
Die momentane Änderungsrate berechnen über f'(x)
Hat man eine Funktion gegeben, z. B. f(x)=x², und will man davon die monentane oder lokale Änderungsrate bestimmen, dann muss zunächst ein konkreter x-Wert angegeben, sein. Man kann zum Beispiel die momentane Änderungsrate für x=5 berechnen. Dieser x-Wert ist meist in einer Aufgabenstellung benannt. Dann bildet man von der gegebenen Funktion f(x) die erste Ableitung f'(x). Im Beispiel ist das: f'(x) = 2x. Dann setzt man den gegebenen x-Wert in diese erste Ableitung ein und erhält im Beispiel: f'(5) = 10. Die Zahl 10 ist dann die momentane oder lokale Änderungrate von f(x) = x² an der Stelle x=5. Graphisch ist das identisch mit der Steigung der Tangente an der Stelle gegebenen Stelle.
Die momentane Änderungsrate an einem Graphen
Die momentane Änderungsrate wird in der Mathematik meist im Zusammenhang mit Funktionen betrachtet. Stellt man die Funktion in einem Graphen in einem x- und y-Koordinatensystem dar, dann kann man die momentane Änderungsrate auch anschaulich als Steigung in einem Punkt deuten.
- Die momentane Änderungsrate ist als Zahlenwert gleich der Tangentensteigung ↗
- Die momentane Änderungsrate ist auch gleich der Steigung in einem Punkt ↗
- Die momentane gehört zu einem infinitesimal kleinen Steigungsdreieck ↗
Was ist das Gegenteil der momentanen Änderungsrate?
Man unterscheidet eine momentane oder auch lokale Änderungsrate einerseits von einer durchschnittlichen, globalen oder mittleren Änderungsrate andererseits. Während die momentane Änderungsrate immer genau für einen Zeitpunkt angegeben wird, bezieht sich die mittlere Änderungsrate immer auf eine Zeitdauer, ein Zeitintervall. Sie gibt den Durchschnitt der Änderung in diesem Zeitintervall an. Siehe dazu den Artikel mittlere Änderungsrate ↗
