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Linearkombination


Summe beliebiger Vielfache von Vektoren


Man hat mehrere Vektoren. Man darf - muss aber nicht - jeden Vektor mit einer beliebigen (reellen) Zahl multiplizieren. Die Ergebnisvektoren addiert man dann alle zusammen. Das Ergebnis ist ein Vektor und heißt Linearkombination.

Erklärung


◦ Das Wort gehört in das Thema Vektorrechnung.
◦ Eine Linearkombination gehört immer zu mindestens zwei Vektoren.
◦ Eine Linearkombination ist eine Addition von zwei oder Vektoren.
◦ Dabei dürfen auch beliebige Vielfache der Vektoren gebildet werden.

Anschaulich


◦ Vektoren zu addieren meint: eine Art Domino-Kette bilden, mehr unter => Vektorsumme
◦ Das Vielfache eines Vektors ist anschaulich eine Verlängerung oder Verkürzung.

Zahlenbeispiel


◦ Man hat die Vektoren a=(2|0|0) und b=(0|5|3).
◦ Dann wäre zum Beispiel 3a+2b eine mögliche Linearkombination.
◦ Ausgerechnet wäre das: (6|0|0) + (0|10|6) = (6|10|6).
◦ Der Vektor (6|10|6) ist eine Linearkombination von a und b.

Sinn


◦ Oft ist es praktisch, wenn man zwei oder mehr Vektoren hat ...
◦ durch deren Addition man jeden beliebigen Punkt in einem ...
◦ 3D-Koordinatensystem vom Ursprung aus "ansteuern" kann.
◦ Oder man hätte gerne zwei oder mehr Vektoren, durch deren ...
◦ Addition man jeden beliebigen anderen Vektor ersetzen kann.
◦ Dass das funktionieren kann, muss man aber erlauben, dass ...
◦ die Vektoren in ihrer Länge verändert werden können.
◦ Sie müssen auch in ihre entgegengesetzte Seite zeigen können.
◦ Dieses Umkippen und auch die Längenänderung wird durch eine ...
◦ Multiplikation des Vektors mit einer Zahl erreicht (Vielfache).
◦ So eine Zahl, oben das a oder b, nennt man auch einen Koeffizienten.
◦ Die Addition so veränderbarer Vektoren ist die Linearkombination.
◦ Die Ziele von oben können immer dann erreicht werden, wenn ...
◦ die verwendeten Vektoren der Linearkombination lineare unabhängig sind.
◦ Mehr dazu unter => linear unabhängig.

Siehe auch


=> Vektorrechnung
=> Vektorsumme
=> eng





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