WH54 Fachwortlexikon
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Bildbeschreibung und Urheberrecht

Längenkontraktion


Einsteinformel für die Verkürzung von Längen


Basiswissen


Bewegen sich zwei Bezugssysteme relativ zueinander, müsen die Längen von einem zum anderen System umgerechnet werden:

Formel


L = Lo/gamma

Legende


◦ Lo = Länge im Koordinatensystem, das sich mit dem Objekt bewegt
◦ Lr = Länge im Koordinatensystem, in dem sich das Objekt bewegt
◦ gamma = 1/Wurzel(1-v²/c²), mehr unter => Lorentzfaktor

Was ist der Lorentzfaktor?


Der Wert des Lorenztfaktors hängt von der Relativgeschwindigkeit der zwei Bezugssysteme zueinander ab. Der Wert ist immer größer als 1. Die Abkürzung ist das kleine griechische Gamma (ähnlich einem lateinischen y). Die Formel ist gamma = 1/Wurzel(1-v²/c²). Lies mehr unter => Lorentzfaktor

Berechnung: Lorentzfaktor


Man denke sich ein xyy-Koordinatensystem. Man selbst steht ruhend im Ursprungspunkt (0|0|0). Es bewegt sich dann ein Stab parallel zur x-Achse. Außerdem ist der Stab parallel zur x-Achse ausgerichtet. Der Stab habe eine Geschwindigkeitv von 80 % der Lichtgeschwindigkeit, auch als v=0,8c ausgedrückt. Zunächst berechnet man den Lorentzfaktor. Für v=0,8 ergibt das 5/3.

Berechnung: Lo


Lo, sprich L-null, heißt auch Ruhelänge und ist die Länge gemessen in einem Koordinatensystem das sich mit dem Objekt selbst mitbewegt. In diesem Koordinatensystem ist der Stab also in Ruhe. Wir nehmen beispielhaft die Länge 1 Meter gemessen im Koordinatensystem des Stabes an.

Berechnung: L


Die relativistische Länge L ist dann die Länge, die ein Beobachter messen würde, in dessen Koordinatensystem sich der Stab mit der Geschwindigkeit v bewegt. Über die Formel oben und den berechneten Lorentzfaktor gamma wird diese Länge L zu: 1 Meter durch 5/3. Das gibt 3/5 Meter oder 0,6 Meter.

Deutung


Ein Objekt, das in seinem eigenen Koordinatensystem ein Meter lang ist, ist nur 0,6 Meter lang, wenn es von einem Beobachter gemessen wird, der sich mit 80 % der Lichtgeschwindigkeit relativ zu diesem Objekt bewegt. Als kontrahiert, also zusammengezogen, wird der Stab wahrgenommen, wenn er sich relativ zur messenden Person bewegt. Die größtmögliche Länge haben Objekte, wenn sie im Ruhezustand gemessen werden.

Literatur


◦ [1] Albert Einstein: Über die spezielle und allgemeine Relativitätstheorie. Ersterscheinung: 1916

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