WH54 Fachwortlexikon
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Bildbeschreibung und Urheberrecht

Kugelvolumen über Integralrechnung


Herleitung


Basiswissen


Wie kommt man aus einfachsten Grundlagen zum Volumen einer Kugel? Eine Lösung bietet die Integralrechnung.

Einordnung


In zwei anderen Artikeln wurde gezeigt, wie die Kreisflächenformel und die Formeln für die Kugeloberfläche alleine aus der Kenntnis des Kreisumfanges als dem Pi-fachen des Kreisradius über Integration hergeleitet werden kann. Als dritter und letzter Schritt in dieser Reihe wird nun auf diesen Ergebnissen aufbauend das Volumen einer Kugel mit dem Radius r hergeleitet.

Voraussetzungen


Kreisumfang = Pi mal Kreisdurchmesser
Sinus und Cosinus im rechtwinkligen Dreieck
Kugeloberfläche = 4*Pi*r^2

Gedankenskizze


◦ Stelle dir ein 3D-Koordinatensystem vor mit x-, y- und z-Achse vor.
◦ Die x-Achse kommt horizontal (waagrecht) auf dich zu.
◦ Die y-Achse geht horizontal (waagrecht) von links nach rechts.
◦ Die z-Achse geht senkrecht von unten nach oben.
◦ Wir denken uns eine Kugel mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung.
◦ Der Koordinatenursprung ist der Punkt (0|0|0).
◦ Der Radius der Kugel sei R.
◦ Die Kugel schneidet die x-Achse bei (R|0|0).
◦ Diesen Punkt nennen wir den Punkt X.
◦ Die Kugel schneidet die z-Achse bei (0|0|R).
◦ Diesen Punkt nennen wir Z.

Erdkugel


◦ Die Gedankenskizze kann auch als Erdkugel gedacht werden.
◦ Die Breitengrade der Erde verlaufen dann parallel zur x-y-Ebene.
◦ Die Erdmitte liegt im Punkt (0|0|0).
◦ Der Nordpol liegt im Punkt (0|0|R).
◦ Der Südpol liegt im Punkt (0|0|-R).

Vorbereitung


Wir stellen uns die Kugel als Zwiebelschalenmodell vor. Die einzelnen Zwiebelschalen seien sehr dünn und ergäben in ihrer Gesamtheit die gesamte Kugel. Die Entfernung einer jeder dieser Zwiebelschalen vom Kugelmittelpunkt nennt wir d. Klein lassen wir nun gedanklich vom Wert 0 bis zum Kugelradius r anwachsen. Somit denken wir uns sozusagen vom Kugelmittelpunkt bis zur Kugeloberfläche hin. Bei jedem kleinen Schrittchen, mit dem wir d etwa größer machen, kommt ein neues Stückchen delta-d dazu. Dieses delta-d ist dann auch die Breite der neuen Zwiebelschalenschicht, die wir uns hinzudenken. Eine solche Zwiebelschale hat zwei nach außen wiesen Oberflächen: Einmal hin zum Kugelmittelpunkt und einmal nach außen von der Kugel wegweisend. Sind die Schalen sehr dünn, nähern sich diese beiden Werte immer mehr an, bis man sie letztendlich als gleich groß annehmen kann. Für sehr dünn gedachte Zwiebelschalen berechnet sich das Volumen näherungsweise über das Produkt aus ihrer Breite delta-d und dem Inhalt ihrer nach außen weisenden Oberfläche. Für ein Zwiebelschalenvolumen ergibt sich als Term:

Zwiebelschalenvolumen = Dicke * Oberflächeninhalt
Zwiebelschalenvolumen = delta-d * 4*Pi*d^2

Integration


Addieren wir alle Zwiebelschalenvolumina auf, so ist die so erhaltene Summe gleich dem Volumen der gesamten Kugel. Das Aufaddieren entspricht dem bestimmten Integral von d=0 bis d=r. Die Integrationsvariable ist hier das d:

Kugelvolumen = 4*Pi*(d^3)/3
Kugelvolumen = 4/3*Pi*d^3

Das ist genau die Formeln für das Volumen einer Kugel mit dem Radius r.

Siehe auch


=> Formeln über Integralrechnung [Beispiele]
=> Integralrechnung [Hauptseite]





© Sabine & Gunter Heim, 2020