Kubische Gleichungen lösen
Übersicht zu Lösungsverfahren für 0=ax³+bx²+cx+d
Basiswissen
Kurze Übersicht zu verschiedenen Lösungsverfahren für alle Gleichungen, die man schreiben kann als: 0 = a·x³ + b·x² + c·x + d
Vorab
◦ Kubische Gleichungen haben mindestens eine und höchstens drei Lösungen.
◦ Es gibt mehrere Verfahren, die man der Reihe nach anwendet.
◦ Wenn faktorisieren klappt, ist das meistens am bequemsten.
◦ Wenn nicht, sollte man Zahlen einsetzen Probieren.
◦ Danach bleiben nur noch kompliziertere Verfahren übrig.
1. Faktorisieren
◦ Geeignet, wenn linke Seite gleich 0 ist und rechts nur Terme mit x stehen:
◦ Beispielgleichung: 0 = x³ - x²
◦ x² ausklammern macht aus linker Seite Malkette:
◦ Wird zu: x²(x - 1) = 0
◦ Satz vom Nullprodukte anwenden und Lösung hinschreiben:
◦ Die Lösungen sind: x=0, x=1
◦ Mehr unter => Kubische Gleichungen über Faktorisieren
2. Probieren
◦ Beispielgleichung: x³ = 64
◦ Einfache Zahlen wie 0; 1; 2 etc. für x einsetzen:
◦ x=4 klappt; 4 ist also eine Lösung.
◦ Mehr unter => Kubische Gleichungen über Probieren
3. Teilermethode
◦ Sind alle Koeffizienten der Gleichung ganze Zahlen ...
◦ dann kann man den Satz über rationale Nullstellen benutzen.
◦ Mit findet man durch systematisches Probieren alle rationalen Lösungen.
◦ Rationale Lösungen sind solche, die man als Bruch schreiben kann.
◦ Irrationale Lösungen würde man mit diesem Verfahren nicht finden.
◦ Mehr unter => Kubische Gleichungen über Teilermethode
4. pq-Formel
◦ Das ist eine Unterart des Faktorisierens.
◦ Kann man nur ein x ausklammern, dann bleibt in der Klammer ein quadratischer Term übrig.
◦ Diesen quadratischen Term kann man gleich null setzen und mit der pq-Formel lösen.
◦ Mehr unter => Kubische Gleichungen über pq-Formel
5. Newton-Verfahren
Kubische Gleichungen lassen sich nicht immer gut über Probieren oder Faktorisieren lösen. Genügt eine Näherungslösung, kann man allerdings computergestützte Näherungsverfahren verwenden. Ein solches Verfahren ist das Newton-Verfahren. Mehr unter => Newton-Verfahren
6. Cardanische Formeln
Es gibt Formeln zur exakten Bestimmung aller Lösungen einer kubischen Gleichung. Sie funktionieren ähnlich wie die pq-Formel für quadratische Gleichungen, sind aber viel komplizierter. In der Schulmathematik spielen sie keine Rolle. Mehr unter => Cardanische Formel
