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Kreisfläche über Integralrechnung


Herleitung der Kreisflächenformel über ein Integral


Als bekannt angenommen wird die Tatsache, dass der Kreisumfang U immer das Pi-fache des Kreisdurchmessers D ist, also U=Pi*D gilt.

Skizze


◦ Skizziere einen Kreis K1 mit einem Radius r=10 cm.
◦ Zeichne einen zweiten Kreis K2 mit r=6 cm, konzentrisch zu K1.
◦ Zeichne einen dritten Kreis K3 mit r=7 cm, konzentrisch zu K1.
◦ Zwischen den Kreislinien von K2 und K3 ist ein Kreisring entstanden.
◦ Schraffiere den Kreisring dünn mit Bleistiftlinien.
◦ Zeichne den Radius von K2 ein und beschrifte ihn mit r.
◦ Der beschriftete Radius r sollte 6 cm lang sein.
◦ Zeichne als kurzen Strich den Abstand von K2 zur K3.
◦ Der gezeichnete Abstand von K2 zu K3 sollte genau 1 cm lang sein.
◦ Beschrifte diesen Abstand mit dem Buchstaben b ("Kreisringbreite").

Vorbereitung


Wir nähern jetzt den Flächeninhalt von dem Kreisring an. Dabei denken wir schon jetzt daran, dass wir den Kreisring gedanklich gleich immer dünner machen, das heißt unser b gedanklich gegen 0 läuft. Für einen dünnen Kreisring kann man sagen, dass der Außendurchmesser gleich dem Innendurchmesser ist. Stellt man sich den Kreisring an einer Stelle durchgeschnitten vor und zieht man ihn dann wie einen Faden kerzengerade lang, dann entsteht ein Rechteck von der Länge 2*r*Pi und der Breite b. Der Flächeninhalt dieses Rechtecks passt umso genauer auf den echten Flächeninhalt des Kreisringes, je kleiner b ist. Der Flächeninhalt wäre dann 2*r*Pi*b. Das kleine b nennen wir ab jetzt Delta-r, denn es ist im Prinzip der Unterschied des Radius, der bei einem neuen Kreisring dazukommt.

Integration


Nun stellen wir uns vor, dass die gesamte Kreisfläche K1 von vielen solchen Kreisringen gebildet wird. Die Flächeninhalte aller Kreisringflächen aufaddiert ergäbe dann die Kreisfläche. Das erreichen wir über eine Integration der Kreisringflächen vom Radius r=0 bis zum Außenradius r = 10 cm. Zunächst bilden wir die Stammfunktion A(r) mit r als Integrationsvariablen:

A(r) = 2*r²:(2*Pi)


◦ Vereinfachen und umstellen ergibt: A(r) = Pi*r².
◦ Das ist die bekannte Formel für den Kreisflächeninhalt.

Siehe auch


=> Formeln über Integralrechnung [Beispiele]
=> Integralrechnung [Hauptseite]





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