Komplexe Zahl radizieren
Anleitung
Basiswissen
Eine komplexe Zahl kann man immer radizieren, also von ihr Wurzeln ziehen.
Kartesische Form
- Komplexe Zahl z ist gegeben über (a+bi).
- Dann ist die Wurzel von z dasselbe wie Wurzel von (a+bi).
- Die kartesische Form erst umwandeln in die Exponentialform ...
- dann damit weiterrechnen:
Exponentialform
- Eine Komplexe Zahl z ist gegeben über r·e^(i·phi)
- Dann ist eine Quadratwurzel von z = Wurzel(r)·e^(i·0,5·phi)
- Siehe auch komplexe Zahl in Exponentialform ↗
Polarform
- Komplexe Zahl z ist gegeben über r mal [ cos (phi) + i·sin(phi) ]
- Erst umwandeln in Exponentialform, dann weiter wie oben.
Anschaulich
- Man stelle sich die komplexe Zahl z als Punkt im Koordinatensystem vor.
- Eine Wurzel ist dann jede Zahl, die mit sich selbst malgenommen wieder z gibt.
- Dazu muss das r der Wurzel mit sich selbst malgenommen das r von z geben.
- Und der Winkel phi der Wurzel muss zu sich selbst addiert phi von z geben.
- Siehe auch komplexe Zahl in Polarform ↗
Besonderheiten
- Für die reellen Zahlen ist die Wurzel nur definiert als positive Zahl.
- Die reelle Wurzel von 16 wäre demnach nur die Zahl 4 und nicht auch -4.
- Diese Einschränkung fällt bei komplexen Zahlen weg.
- Komplexe Wurzel dürfen auch negativ sein.
- Eine komplexe Zahl hat zwei Quadratwurzeln.
- Eine komplexe Zahl hat drei dritte Wurzeln.
- Eine komplexe Zahl hat vier vierte Wurzeln.
- Siehe auch Moivrescher Satz ↗