Komplexe Zahl quadrieren
Anleitung
Basiswissen
(2+3i)² gibt -5+12i: hier ist der Rechenweg zum quadrieren einer komplexen Zahl für für die Polarform, die kartesische und die Exponentialform erklärt.
Polarform
- Die komplexe Zahl z ist gegeben über r mal [ cos (phi) + i·sin(phi) ]
- Dann ist z² einfach r² mal [ cos (2·phi) + i·sin(2·phi) ]
Kartesische Form
- Die komplexe Zahl z ist gegeben über (a+bi).
- Dann ist z² dasselbe wie (a+bi)².
- Mann kann über die erste binomische Formel gehen ...
- und dabei daran denken, dass i² immer -1 gibt:
- (a+bi)² = a²-2·a·b·i-b² = (a²-b²)-2·a·b·i
- Mit Zahlen: (2+3i)² = 4+12i-9 = -5+12i
- Siehe auch Komplexe Zahl in kartesischer Form ↗
Exponentialform
- Komplexe Zahl z ist gegeben über r·e^(i·phi)
- Dann ist z² = r²·e^(i·2·phi)
Exponentialform anschaulich
- Man stelle sich die komplexe Zahl als Punkt im Koordinatensystem vor.
- Quadrieren heißt dann, dass man ihren Abstand zum Ursprung (0|0) quadriert und ...
- Den Winkel zur x-Achse verdoppelt.
- Der Winkel wird dabei gegen den Uhrzeigersinn genommen.
- Siehe auch komplexe Zahl in Exponentialform ↗