Keine Äquivalenzumformungen
Beispiele
Basiswissen
Eine Gleichung so umzuformen, dass sich dabei die Lösungsmenge nicht verändert nennt man eine Äquivalenzumformung. Nicht alle Rechnungen sind solche Äquivalenzumformungen. Hier stehen einige wichtige Ausnahmen.
= Kurzbeispiele
- beide Seiten quadrieren
- beide Seiten mal 0 rechnen
- von beiden Seiten die Wurzel ziehen
- beide Seiten durch x-1 teilen, wenn x=1 erlaubt ist
- beide Seiten mit x-1 multiplizieren, wenn x=1 erlaubt ist
Quadrieren
- Man hat die Gleichung: x+1=3
- Ihre Lösungsmenge L ist: {2}
- Man quadriert beide Seiten.
- Das gibt: (x+1)²=3.
- L ist jetzt {-4; 2}.
- Das Quadrieren hat die ...
- Lösungsmenge verändert.
Wurzel ziehen
- Man hat die Gleichung: (x+1)²=25
- Ihre Lösungsmenge L ist: {-6; 4}
- Man zieht aus beiden Seiten die Wurzel.
- Das gibt: x+1 = 5. Jetzt passt nur x=4.
- Die Lösungsmenge L ist also: {4}
Mal 0
- Man hat die Gleichung: x+4=10
- Ihre Lösungsmenge L ist: {6}
- Beide Seiten mal 0 nehmen gibt:
- 0*(x+4)=0*10 oder kurz: 0=0.
- Für x passt jetzt jede Zahl.
- Die Lösungsmenge L ist also R.
- R ist die Menge aller reellen Zahlen.
- Mal 0 rechnen kann also die Lösungmenge ändern.
Fazit
- Quadrieren, mit 0 multiplizieren und wurzel ziehen ...
- sind keine zuverlässigen Äquivalenzumformungen.