Kehrwert einer komplexen Zahl
Definition, Berechnung, Beispiel, Bedeutung
Basiswissen
Die komplexe Zahl 2+2i hat den Kehrwert 0,25-0,25i. Der Rechenweg wird hier kurz erklärt.
Definition
◦ Wenn die komplexe Zazhl z heißt,
◦ dann ist der Kehrwert KW = 1/z.
◦ Wenn also z=a+bi, dann ist
◦ KW = 1/(a+bi)
Was ist die Lösungsidee?
◦ Man nimmt die komplexe Zahl z.
◦ Man schreibt sie als: 1/z
◦ Man erweiter mit dem konjugiert komplexen von z.
◦ Man vereinfacht den so entstandenen Term.
◦ Das Ergebnis ist der Kehrwert von z.
Wie sieht ein Zahlenbeispiel aus?
◦ Gegebeben: z = 2+2i
◦ Man schreibt: = 1/z
◦ Ausgeschrieben ist das: 1/(2+2i)
◦ Man erweitert mit dem konjuiert Komplexen von z.
◦ Konjugiert komplexes von z = 2-2i
◦ Erweitern heißt: Zähler und Nenner damit malnehmen:
◦ KW = (2-2i)/[(2+2i)(2-2i)]
◦ Die untere Klammer vereinfachen nach => Klammer mal Klammer
◦ Dabei beachten, das i·i per Definition -1 ergibt.
◦ Vereinfachen gibt damit:
◦ KW = 0,25-0,25i
Tipp
◦ Der Zähler von 1/z ist immer das konjugiert Komplexe von z.
◦ Der Nenner von 1/z ist immer (a²+b²), also das Quadrat des Betrages von z.
Siehe auch
=> Komplexe Zahl [Übersicht]
=> Konjugiert komplexe Zahl
=> Erweitern
