Irrationale Zahl
Definition
Basiswissen
Eine Zahl, die man nicht als Bruch schreiben kann, heißt irrational. In Dezimaldarstellung bilden die Nachkommaziffern eine unendlich lange Abfolge, in der sich keine Regelmäßigkeit, kein Muster erkennen lässt.
Definition
- Eine Zahl, die man auch als Bruch schreiben kann ist eine rationale Zahl ↗
- Eine Zahl, mit der das nicht geht, heißt Irrational ↗
Beispiele
- Die 2,4 kann man als Bruch schreiben als 24/10, gekürzt zu 12/5.
- Die 2,4 ist also keine irrationale ZahL; die 2,4 ist rational ↗
- Für die Wurzel von 2 findet man aber keine Zahl, die genau passt ...
- und die sich als vollständig gekürzter Bruch schreiben lässt.
- Die 1,41 passt in etwa und wäre als Bruch 141/100.
- Aber 1,41 mal 1,41 gibt nicht genau 2, also ist es noch nicht die exakte Wurzel.
- Egal was man auch probiert, man wird keine Zahl finden, die mit sich selbt ...
- multipliziert genau 2 ergibt und sich als gekürzter Bruch schreiben lässt.
- Die Wurzel von zwei heißt deshalb irrational.
Bedeutung
- Man kann sie weder als Bruch noch als Dezimalzahl exakt ohne Fehler aufschreiben.
- Bei einer irrationalen gibt es keinen Bruch, der exakt diese Zahl meint.
- Und es gibt keine endliche Dezimalzahl, die exakt diesen Bruch meint.
- Eine irrationale Zahl hat als Dezimalzahl unendlich viele Nachkommastellen.
- Und: es gibt keine wiederkehrende Regelmäßigkeit bei den Nachkommastellen.
- Es gibt also keine Periodizität, es geht immer unregelmäßig weiter.
- Also: man kann eine irrationale nicht in Kurzform exakt aufschreiben.
Irrationale Zahlen und die Periodenlänge
Als Periodenlänge bezeichnet man bei Kommazahlen die Länge eines Nachkomma-Blockes von Zahlen, die sich unendlich oft wiederholen. Bei irrationalen Zahlen wie etwa Pi wiederholen sich die Nachkommastellen niemals unendlich oft. Also ist die Periodenlänge entweder nicht definiert oder unendlich lang. Siehe auch Periodenlänge bei Dezimalzahlen ↗
Namensgebung
- > Irrationale Zahlen lassen sich nicht als Bruch schreiben.
- > Rational kommt von "Ratio" und meint "Verhältnis".
- > Ein Verhältnis ist mathematisch ein Bruch.
- > Irrational heißt also "nicht-als-Bruch".
Schreibweise
- Für die Menge der irrationalen Zahlen gibt es keine Abkürzung.
- Stattdessen schreibt man oft 'ℝℚ', das meint ℝ ohne ℚ ↗
Was heißt irrational?
Rational heißt in der Mathematik so viel wie als Bruch darstellbar. Ein Bruch wird auch als Verhältnis bezeichnet, auf Latein eine Ratio. Irrational heißt also so viel wie: nicht als Bruch darstellbar. Außerhalb der Mathematik heißt irrationale allerdings etwas ganz anderes, nämlich: nicht den Regeln der Logik oder der Vernunft folgend. Lies mehr dazu unter irrational ↗