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Integrieren über Substitution


Für Integrale der Form ∫f(g(x))·g'(x)·dx


Gegeben ist eine Funktion, die sich als Produkt zweier anderer Funktionen denken lässt. Man könnte immer den Ansatz über Produktintegation (partiell integrieren) probieren. Ist aber die eine Funktion die Ableitung der anderen, führt die Substitution oft schneller und mit weniger Mühe zum Ziel. Der Ansatz führt auch oft weiter, wenn ein Teil der Funktion abgeleitet einen anderen Teil der Funktion ergibt.

Anleitung


◦ Wähle als g(x) das, was abgeleitet f(x) ergäbe.
◦ Schreibe statt g(x): u
◦ Schreibe statt g'(x)·dx: du
◦ Man hat dann: ∫u·du
◦ Löse dieses Integral.
◦ Am Ende: Rücksubstitution
◦ Setzte für u wieder g(x) ein.

Beispiel


◦ ∫cos(x²)·2x·dx
◦ x² ist abgeleitet 2x.
◦ Das muss man erst erkannt haben.
◦ Dann gilt: x²=g(x)=u und 2x·dx=du
◦ Substitution: ∫cos(x²)·2x·dx = ∫cos(u)·du
◦ Als Stammintegral: ∫cos(u)·du = sin(u)
◦ Rücksubsitution: cos(x²) = sin(x²)
◦ ∫cos(x²)·2x·dx = sin(x²) ✔

Siehe auch


=> Integralrechnung [Übersicht]
=> Integrieren [Methoden]
=> Stammintegrale





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