Integral als Fläche
Anschaulich
Grundidee
Ein Integral, genauer der Integralwert, ist eine Zahl. Das Integral von f(x)=3x²-1 in dem Grenzen von 0 bis 3 ergibt die Zahl 24. Anschaulich entspricht das dem Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse zwischen senkrechten Linien bei x=0 und x=3. Das ist hier näher vorgestellt.
Das Integral Fläche oberhalb der x-Achse
Das Integral der Funktion f(x)=x²-1 in den Grenzen von 0 bis 3 berechnet man über die sogenannten Stammfunktion F(x). Man spricht Groß-F-von-x. Die Stammfunktion von f(x)=x²-1 ist F(x)=x³-x. Man setzt dann immer zuerst die größere der zwei Grenzen ein und berechnet damit hier F(3)=3³-3, also F(3)=24. Dann setzt man die kleinere Grenze ein, hier also F(0)=0³-0, was F(0)=0 ergibt. Dann rechnet man das Ergebnis vom größeren minus das Ergebnis vom kleineren Wert, also F(3)-F(0), was hier 24-0 oder einfach nur 24 gibt. Die Zahl 24 ist dann das gesuchte Integral. Siehe auch bestimmtes Integral berechnen ↗
Das Integral als Fläche unter der Kurve deuten
Für f(x)=3x²-1 kam also als Ergebnis für das Integral in den Grenzen von 0 bis 3 die Zahl 24 heraus. Diese Zahl sagt dann, wie groß die Fläche ist, die eingeschlossen wird von der x-Achse, vom Funktionsgraphen und von je zwei senkrechten Linien, die durch die x-Werte der beiden Integrationsgrenzen gehen. Da man den Funktionsgraphen auch Kurve nennt, ist die berechnete Fläche entsprechend die Fläche unter der Kurve ↗
Das Integral als Fläche unterhalb der x-Achse
Wenn der Graph in den gegeben Grenzen komplette unterhalb der x-Achse verläuft, dann wird das berechnet Integral immer eine negative Zahl sein. Lässt man von einer negativen Zahl das Vorzeichen weg, dann hat man den sogenannten Betrag der Zahl. Der Betrag des berechneten Integrals ist auch jetzt wieder die Fläche, die eingeschlossen wird vom Graphen, von der x-Achse und von den zwei senkrechten Strichen durch jeden der beiden Grenzen. Siehe auch negative Fläche ↗
Das Integral als Flächenbilanz
Wenn der Graph von f(x) von der linken bis zur rechten Integrationsgrenze teilweise oberhalb und teilweise unterhalb der x-Achse verläuft, dann machen Flächen unterhalb der x-Achse das Ergebnis (das Integral) kleiner und Flächen oberhalb der x-Achse das Ergebnis größer. Wenn die Flächen unterhalb der x-Achse genauso groß sind wie die Flächen oberhalb der x-Achse, dann wird das Integral als Zahl sogar zu 0. Wenn also der Graph teilweise ober- und teilweise unterhalb der x-Achse läuft steht das Integral als Zahl für die sogenannte Flächenbilanz ↗